概率论试题及答案.doc

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1、一．计算题1．（12分）设随机变量与的联合分布律为ηξ0101已知事件与相互独立，试求：（1）常数a,b的值；（本小题4分）（2）；（本小题4分）（3）的分布律。（本小题4分）解：（1）1’由于事件与相互独立，得到1’解得。1’利用规范性，得到1’（2）；4’（3）01P4’2．（15分）已知随机向量的联合概率密度函数为，(1)分别求，的边际密度函数；（本小题6分）(2)，相互独立吗？说明理由（本小题3分）(3)求随机变量函数的概率密度函数。（本小题6分）解：(1)，的边际密度函数为：；3’。3’(2)由于，因此，不独立。3(3)解法一：利用卷积公式，得到

2、当或时，2’当时，2’当时，2’即解法二：先求分布函数。当时，当时，当时，当时，，故有3．（8分）在天平上重复称重一重物，假设各次称重结果相互独立，称重结果的期望值为，方差为0.04，若以表示n次称重结果的算术平均值，为使，请用中心极限定理估计至少要称重多少次？解：若随机变量表示第次称重的重物，则，于是有。利用中心极限定理得到4’要使，即，2’于是得到，1’取。1’3．（10分）从某品牌的油漆中随机抽取9个样品，测得油漆的干燥时间（单位：h）为6.5，5.8,7.2,6.6,6.8,6.3,5.6,6.1,4.9假设油漆的干燥时间，这里未知。问（1）是否可

3、以认为油漆的平均干燥时间为（）；（本小题5分）（2）求的95%的置信区间。（本小题5分）（）列1平均6.2标准误差0.23094中值6.3标准偏差0.69282样本方差0.48峰值0.282087偏斜度-0.56543区域2.3最小值4.9最大值7.2求和55.8计数9最大(1)7.2最小(1)4.9解：(1)建立原假设，备选假设。选取统计量，当原假设成立时，2’利用样本数据，有，，，故统计量的测试值为2’由得到，由于，故接受原假设，即认为油漆的平均干燥时间为6小时。1’(2)由样本数据得到，，对于，自由度为8，有，所以1’2’2’故的95%的置信区间为3

4、．（13分）设是取自总体的一个简单随机样本，的密度函数为其中为未知参数，（1）试求的矩估计；（本小题4分）（2）试求的极大似然估计；（本小题5分）（3）问的极大似然估计量是否为无偏估计，请说明理由。（本小题4分）解：(1)先计算2’由于，得到2’(2)对于一组观测值，设，此时似然函数两边取对数，得对数似然函数2’分别关于求导，可得1’关于严格单调递增，所以的最大值应在取值的右面的边界点上取到，故极大似然估计为2’(3)设的分布函数为，利用最小值分布的公式，得到得到的密度函数2’1’故不是无偏估计。1’一．填空题（每小题3分，共18分）1．设随机变量的分布律

5、为且则常数=1。2．设为互不相容的随机事件，已知=0.6，=0.3，则0.9。3．设随机变量,则=。4．设随机变量，则的密度函数=。5．已知随机变量的数学期望为0.8，方差为0.01，利用切比雪夫不等式估计概率0.75。6．设总体，（X1，X2，X3，X4）为取自总体的样本，则随机变量服从t分布，自由度为2。一．选择题（每小题4分，共24分）1．设为三个随机事件，其概率均大于0，且与相互独立，与相互独立，与互不相容，则下列命题中成立的是(C)。(A)，，相互独立(B)与相互独立(C)与相互独立(D)与相互独立2．在一系列独立重复试验中，每次试验成功的概率为

6、p，则5次试验中前2次试验成功后3次试验失败的概率为(D)。(A)(B)(C)(D)3．设随机变量的分布函数为且已知，则的取值分别为（A）。(A)；(B)；(C)；(D)4．设是一随机变量，为任意实数，为随机变量的数学期望，则（B）。(A)(B)(C)(D)5．设随机变量，相互独立，服从两点分布，则下列式子中正确的是（C）(A)(B)(C)(D).6．甲袋中有3只黑球、7只白球，乙袋中有4只黑球、5只白球，现在从甲袋中先取出一只球放入乙袋中，再从乙袋中拿出一只球，则该球是白色的概率为（C）。(A)(B)(C)(D)