不等式的性质及一元二次不等式的解法讲义.doc

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1、3.1－3.2不等式的性质及一元二次不等式的解法一、不等关系与不等式1、不等式的定义：用不等号（“≤”，“≥”，“＜”，“＞”，“≠”）表示不等关系的式子。用“＜”，“＞”连接的不等式叫严格不等式，用“≤”，“≥”连接的不等式叫非严格不等式。2、实数的特征和实数大小的比较（1）、特征：（1）任意实数的平方不小于0：即：∈R，则2≥0；（2）任意两个实数都可以比较大小。3、实数比较大小的方法：（1）若－b＞0＞b；（2）－b＜0＜b；（3）－b＝0＝b（2）当＞0，b＞0；若＞1＞b；若＜1＜b；若＝1＝b做差比较法法的一般步骤：（1） 作差

2、；（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4）得出结论。4、不等式的性质（1）、对称性：＞bb＜（2）、传递性：＞b，b＞c＞c（3）、可加性：＞b，c∈R＋c＞b＋c（4）、可乘性：＞b，c＞0c＞bc或＞b，c＜0c＜bc（5）、同向不等式相加：＋c＞b＋d（6）、×c＞b×d＞0（7）、n＞bn（8）、＞（9）、例1：设、、是任意实数，且＞，则下列结论一定成立的

3、是()A：×c＞×B：×c＞×C：×2＞×2D：×2≥×2【解析】：D例2：已知b＜，d＜c，那么下列结论一定成立的是()A：－＜－B：－＞－C：＋＜＋D：＜8【解析】：C变式练习1：若、、∈R，＞b，则下列不等式成立的是()A：B：2＞b2C：D：︱c︱＞b︱c︱【解析】：C变式练习2：如果＞＞0，则下列各不等式中：①；②3＞b3；③lg(2＋1)＞lg(2＋1)；④＞；⑤sin＞sin。一定成立的是____________(请把正确的答案序号全部填写在横线上)【解析】①②③④变式练习2：已知函数f(x)（0≤x≤1）的图象为一段圆弧（如

4、右图），若0＜x1＜x2＜1，则（）A：B：C：D：【解析】：构造点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），则线段OA、OB的斜率是kOA=.由图形可以看出kOA＞kOB，即.答案：C例3：设0＜＜，且＋＝1，则四个数、、2、2＋2中最小的数是(　　)A：　　　B：　　　C：2　　　D：2＋2【解析】　由0＜a＜b及a＋b＝1，知0＜a＜，a＜2a，故只需比较a2＋b2与a的大小即可.由0＜a＜，知a2＋b2－a＝a2＋(1－a)2－a＝2a2－3a＋1＝(2a－1)(a－1)＞0，故a最小.【答案】　B例4：设＝，＝，＝，则、、的

5、大小关系是（）A：＜＜B：＜＜C：＜＜D：＜＜【解析】：C＝，＝，＝变式练习1：设＝，＝，＝，则、、的大小关系是（）A：＜＜B：＜＜C：＜＜D：＜＜【解析】：＝＜＝1，＝＜0，＝＞1B8变式练习2：设＝，＝，＝cos3，则、、的大小关系是（）A：＜＜B：＜＜C：＜＜D：＜＜【解析】：A变式练习3：设＝(＞2)，＝(x∈R)，则（）A：≥B：＞C：＜D：≤【解析】：A变式练习4：设＝，＝，则下列各式正确的是()A：＜＜B：＜＜C：＜＜D：＜＜解析：a=sin15°+cos15°=sin60°,b=sin16°+cos16°=sin61°,所以

6、a＜b,排除C、D又a≠b,因为＞ab=sin60°sin61°=sin61°＞b,故B正确.二、一元二次不等式的解法（一）一元二次不等式的解法：二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：从函数的观点来看，一元二次不等式x2＋bx＋c＞0(a＞0)，就是二次函数y＝x2＋bx＋c(＞0)的图象在x轴上方部分的点横坐标x的集合；一元二次不等式x2＋bx＋c＜0(＞0)，就是二次函数y＝x2＋bx＋c(＞0)的图象在x轴下方部分的点横坐标x的集合。解一元二次不等式的步骤是：（1）把不等式化成a＞0

7、的形式。（2）判定△与0的关系。（3）求出相应方程的根。（4）根据函数图象写出不等式的解集。二次函数的图象8一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R口决：化正、求根、大于取两边（小于取中间）例5：不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________________。(用区间表示)【解析】：(－4,1)　变式练习1：不等式－2x2＋x＋1>0的解集为__________。【解析】：　变式练习2：设A＝{x︱(2－x)(x＋3)＞0}，B＝{x︱x2－3x－4＜0}，则A∩B＝（）A：(－1，2)B：(2，4)C：(－3，4)D：(－1，4)

8、【解析】：A变式练习3：已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥－1的解集是________。【解析】[－4,2]　[不等式f(x)≥－1⇔或解得－4≤x≤0或0