函数专题七-方程根的分布及相关不等式问题解法总结.doc

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1、函数专题七——方程根的分布及相关不等式问题解法总结根的分布指的是探讨方程在指定区间内根的存在性、个数的问题，高中数学常见于一元二次函数或与一元二次函数有关的问题中。一、一次方程根的分布例1、已知函数，若在区间[，1]上存在，使，则实数m的取值范围是_______________。小结：一次方程根的分布可以直接解得根后满足条件或在区间（a，b）上利用处理。二、一元二次方程根的分布下面讨论当a>0时一元二次方程根的分布。（一）不限制根的区间：（1）无根：Δ<0；（2）一根：Δ=0；（3）两根：Δ>0。（二）限制根的区间1、指定区间内有两根⑴、两个根

2、在不同区间内①；②；③；④。根的分布xyomx1x2图象表达式x2yonx1xmpx2yomx1xnx2yonx1xmpq⑵、两个根在同一个区间内①；②；③。xyomx1=x2①根的分布xyomx1x2②图象表达式①；②xyomx1=x2①xyomx1x2②①；②x2yox1xmn②yox1=x2xmn①①；②2、指定区间内恰有一个根⑴在（m，）内恰有一根；⑵在（，m）内恰有一根；⑶在（m，n）内恰有一根。根的分布xyomx1=x2①xyomx1x2②图象表达式在（m，）内恰有一根xyomx1=x2①xyomx1x2②①；②在（，m）内恰有一根

3、①；②在（m，n）内恰有一根x2yox1xmn②xyomx1=x2①nx2yox1xmn③①；②③3、指定区间内至多或至少有一个根⑴至少有一个根①在（m，）内至少有一根：分两种情况：①在（m，）内恰有一根；②在（m，）内有两根。②在（，m）内至少有一根：分两种情况：①在（，m）内恰有一根；②在（，m）内有两根。③在（m，n）内至少有一根：分两种情况：①在（m，n）内恰有一根；②在（m，n）内有两根。⑵至多有一个根①在（m，）内至多有一根：分三种情况：①在（m，）内恰有一根；②在（，m]内有两根；③无根。②在（，m）内至多有一根：分三种情况：①在

4、（，m）内恰有一根；②在[m，）内有两根；③无根。③在（m，n）内至多有一根：分四种情况：①在（m，n）内恰有一根；②在（，m]内有两根；③在[n，）内有两根；④无根。小结：一元二次方程根的分布关键在于正确地作出符合题意的抛物线（实际作图时最容易发生情况遗漏），一般要先理解习题要求，再根据需要依次考虑习题中抛物线的四个方面（①开口方向、②判别式、③对称轴与区间的相对位置、④区间端点的函数值的符号）的可能性进行作图。一、基础题型例2、已知关于的二次方程，分别求满足下列条件的m的范围。⑴一根比1小，另一根比1大；⑵一根比0小，另一根比1大；⑶两根都

5、大于0；⑷两根（-1，0），（1，2）；⑸两根都在区间（0，1）内；⑹恰有一根在（1，+∞）内；⑺至少有一根在（1，+∞）内。小结：要正确作图可分以下几个步骤：⑴理解清楚题意：方程有没有根？有几个根？根分布在哪（两）个区域？是否需要分情况讨论？⑵开始作图：依次考虑以下方面：①开口方向有没有确定？②符合题意的“Δ”有哪些情况？③是否需要考虑对称轴相对与根的分布区间的位置关系？④分布区间的端点在图象上对应点位置在x轴上？上方？下方？例3、已知，若x∈[，2]，恒成立，求a的取值范围。小结：①不等式问题要先转化为方程的根的分布问题。②不等式恒成立问题

6、也可用变量分离法求解。练：1、已知关于x的方程，求满足下列条件的m的取值范围。⑴两个正根 ；⑵有两个负根；⑶两个根都小于1；⑷一个根大于2，一个根小于2 ；⑸两个根都在（0，2）内；⑹两个根有且仅有一个在（0，2）内；⑺一个根在（，0）内，另一个根在（1，3）内；二、综合应用例4、关于的方程的一个实根在[0，1]上，另一根在[1，2]上，则的最大值为_____。例5、已知集合A=，B=，若A∩B是单元素集，求实数m的取值范围。例6、已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，求实数k的取值范围。例7、求函数的值域。三、复合型方程根的分布复合方程

7、在探讨根的情况时，一般按复合函数的方法先换元成基本函数，然后按照从外到内的顺序讨论方程根的情况。xyo1221-1-2-1-2y=f(x)xyo1221-1-2-1-2y=g(x)例8、已知函数和的图象如下所示：   给出下列四个命题：   ①方程有且仅有6个根    ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根    ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是____________。（将所有正确的命题序号填在横线上）例9、若关于x的方程在x∈[，1]上有解，求实数a的取值范围。例10、设定义域为R的函数，若关于x的函数有8个不同的零点，则实数c的

8、取值范围是________________。小结：复合型方程根的分布问题运用换元法先转化为基本函数问题，按照从外而内的思路分步解决问题。练：2、设关于