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1、二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法第四章第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称即凑微分法)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例1求解（一）解（二）令原式机动目录上页下页返回结束解（三）令原式机动目录上页下页返回结束例2求解一般地机动目录上页下页返回结束例3求解例.求解:想到公式机动目录上页下页返回结束说明：熟悉第一类换元法之后，就没有必要写出中间变量的代换过程P160,公式(18)SCU例3.求想到解:机动目录上页下页返
2、回结束P160,公式(21)SCU例4.求解:机动目录上页下页返回结束类似P160,公式(14,15)SCU例5.求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束P160,公式(19,20)SCU常用的几种凑微分形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例7.求解:原式例8.求解:原式=机动目录上页下页返回结束例9.求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束例10.求解法1机动目录上页下页返回结束解法2同样可证或(P199例18)机动目录上页下页返回结束P160,公式(16,17)SCU例11.求解:原式=机动目录上页下页
3、返回结束例12.求解:机动目录上页下页返回结束例13.求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束思考：例14.求解:原式=机动目录上页下页返回结束分析:机动目录上页下页返回结束例15求解机动目录上页下页返回结束解例14设求令例15.求解:原式机动目录上页下页返回结束小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如ex13,P164,SCU思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束2.求提示:法
4、1法2法3作业目录上页下页返回结束二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式例16.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例17.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束P160,公式(22)SCU例18.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束可以不管具体形式P160,公式(22)SCU令于是机动目录上页下页返回结束可以不管具体形式原式例19.求解:令则原式机动目录上页下页返回结束解法
5、一：三角代换解法二：倒代换小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令令机动目录上页下页返回结束第四节讲根式代换Ex21,P167,SCU机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(P205,P160(SCU))(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束川大教材没有公式(24)解:原式(P205公式(20))机动目录上页下页返回结束例20.求例21.求解:(P206公式(23))例22.求解:原式=(P206公式(22))机动目录上页下页返回结束例23.求解:原式(P206公式(22))根
6、式代换；三角代换例24.求解:令得原式机动目录上页下页返回结束三角代换例25.求解:原式令例16目录上页下页返回结束三角代换1.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)机动目录上页下页返回结束思考与练习作业P2072(5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44)第三节目录上页下页返回结束备用题1.求下列积分:机动目录上页下页返回结束2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得机动目录上页下页返回结束分子分母同除以3.求不定积分解:令原式机动目录上页下页返回结束
