矩阵特征值问题.ppt

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1、第六章矩阵特征值问题一、方阵特征值与特征向量的概念定义设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式成立，那么这样的数称为方阵的特征值；非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量.注意：关系式是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知必须为方阵.零向量显然满足关系式，但零向量不是特征向量.特征向量是非零向量.方阵的与特征值对应的特征向量不唯一.若和都是属于特征值的特征向量,则也是属于特征值的特征向量.即,属于特征值的特征向量的非零线性组合仍是的特征向量.一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征值与特征向量的求法1.结论的引入若是的特征值，是的对应于的特征向量，则有方程

2、有非零解，且是它的一个非零解是代数方程的根.以为未知数的一元次方程称为方阵的特征方程.以为变元的次多项式，即称为方阵的特征多项式.2.结论⑴矩阵的特征方程的根就是的特征值.由行列式的定义(3)设是方阵的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是的对应于特征值的全部特征向量；齐次方程的基础解系就是对应于特征值的全体特征向量的极大无关组.(2)在复数范围内阶矩阵有个特征值(重根按重数计算).练习：求特征值、特征向量步骤：求出即为特征值;把得到的每一个特征值代入上式，即为所求特征向量。求齐次线性方程组的非零解or或例求矩阵的特征值和特征向量.解：的特征多项式所以的特征

3、值为当时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于的全部特征向量为当时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于的全部特征向量为例求矩阵的特征值和特征向量.解：的特征多项式所以的特征值为当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为例求矩阵的特征值和特征向量.解：的特征多项式所以的特征值为当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为(不同时为0).说明：例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区

4、别，在例2中，对应于2重特征值仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值有两个线性无关特征向量.可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是这些矩阵对角线上的元素.练习:性质1：矩阵和的特征值相同。虽然与有相同的特征值,特征向量却不一定相同.3.特征值和特征向量的性质例如:可计算与有相同的特征值但易验证是对应于特征值2的特征向量,但却不是的.性质1证根据特征值满足的条件：是特征方程的根，所以要证与的特征值相同，只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.因为所以与的特征多项式相同，从而与的特征值相同.定理1：设阶方阵的个特征值为则称为矩阵A的

5、迹。（主对角元素之和）推论:矩阵可逆的特征值都不为0.定理1证因为是的个特征向量，则有即令，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有这些项中不含比较两端的的系数，可得即例已知矩阵的特征值为显然有说明根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.练习:性质2：若的特征值是，是的对应于的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)若可逆，则的特征值是的特征值是且仍然是矩阵分别对应于的特征向量。为x的多项式，则的特征值为实际上这里多项式幂可推广为所有整数例设3阶矩阵的特征值为求解方阵的行列式=的全部特征值之积.因为的特征

6、值为，全不为0，所以可逆，且则有故的特征值为因此练习:求抽象矩阵的特征值练习:特征值,特征向量的逆问题则定理3：设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量。如果各不相等，则线性无关。即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：设常数使得类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，当各不相同时，该行列式不等于零，所以存在逆矩阵。等号两边同时右乘它的逆矩阵，有即又因为为特征向量，所以线性无关。进一步可以证明定理4:若为矩阵A对应特征值的线性无关的特征向量,则当互不相同时,向量组是线性无关的.性质:设是n

7、阶矩阵A的k重特征值,而A中对应的线性无关的特征向量有r个,则性质:设是n阶矩阵A的1重特征值,则A中对应的线性无关的特征向量有1个.例设和是矩阵的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为和，证根据题设，有要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.用反证法，假设是的特征向量，则存在数，使证明不是的特征向量.因为，所以线性无关，故即有与题设矛盾.因此不是的特征向量.练习:(2)证因为是的特征值，所以存在非零向量使用左乘上式两端得这表明是矩阵的特征值.类似地，可以证是矩阵的特征值.因为是的特征值，(3)证所以存在非零向量使又由知，可逆，且，所以这表明是矩阵的特征

8、值.(3)证因为是的特征值，所以存在非零向量使又因为