高等数学第六章第5-7节.ppt

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1、§6.5高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:1类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为2例1求函数解注意:此处的二阶偏导数.3例2设,其中f有二阶连续偏导数,求解4为简便起见,引入记号例3f具有二阶连续偏导数,求解令则设5例4设有二阶连续偏导数,且求解6例5设解求方程两边求微分得即所以因此7解法2利用公式.设则两边对x求偏导

2、8§6.6多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数的条件极值9一、多元函数的极值定义若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某去心邻域内有10说明使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故11时,具有极值定理2(充分条件)的

3、某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明略.时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数12求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值A,B,C.第三步的符号，判定是否是极值.说明定出13例1求函数解第一步求驻点.得驻点(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数14在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)

4、处不是极值;15例2求由方程函数确定的的极值.方程两边分别对x,y求偏导,得上述方程组两边分别再对x,y求偏导，得得驻点解16由知函数在点P有极值.将代入原方程，得当时，所以为极小值；当时，所以为极大值；17解先求函数在D内的驻点.例3求二元函数在直线x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值..解方程组再求在D边界上的最值，得区域D内唯一驻点(2,1),且在边界和上18在边界上，有于是由得比较后可知为最大值,为最小值.19例4解设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可

5、知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.20二、多元函数的条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化21方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有22引入辅助函数辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必

6、满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.23推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件24例5要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问25得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧

7、面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示长、宽、高尺寸相等.26解则例6将正数12分成三个正数x,y,z之和,使得为最大.令解得唯一驻点(6,4,2),故最大值为27§6.7二重积分一、二重积分的概念二、二重积分的性质三、二重积分在直角坐标下的计算四、二重积分在极坐标下的计算28解法:类似定积分解决问题的思想:一、二重积分的概念1.引例------曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D，顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面,求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”2

8、91)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体304)“取极限”令312.二重积分的定义定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常