机械优化设计-无约束优化方法培训课件.ppt

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1、机械优化设计2017年6月上海海事大学SHANGHAIMARITIMEUNIVERSITY何军良2021/8/151上海海事大学ShanghaiMaritimeUniversity190920092004191219587机械优化设计中的几个问题1优化设计概述2优化设计的数学基础目录CONTENTS3一维搜索方法4无约束优化方法5线性规划6约束优化方法2021/8/152第四章无约束优化方法概述最速下降法牛顿型方法共轭方向与共轭方向法共轭梯度法变尺度法坐标轮换法鲍威尔方法单形替换法2021/8/1534

2、.1概述工程问题大都为有约束优化问题。为什么要研究无约束优化问题?有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。2021/8/1544.1概述无约束优化问题是：求n维设计变量使目标函数无约束优化问题极值存在的必要条件：2021/8/1554.1概述目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差

3、别。（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法、单形替换法等。用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的(n≤20)问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。其搜索方向直接取定或由计算目标函数值所得的信息来确定。2021/8/1564.1概述77选择初始迭

4、代点x0。从迭代点xk出发进行搜索，确定使目标函数值下降的搜索方向dk。确定适当的步长因子αk，求xk+1=xk+αkdk，使f(xk+1)

5、（2）计算方法为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值，其步长因子应取一维搜索的最佳步长。即有步长因子求解方法：解析法：根据极值点必要条件。黄金分割法牛顿法抛物线法2021/8/1594.2最速下降法（2）计算方法根据一元函数极值的必要条件及复合函数求导公式得2021/8/15104.2最速下降法（3）现象最速下降法的搜索路径在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。形成“之”字形的锯齿现象，而且越接近极小点锯齿越细。2021/8/1

6、5114.2最速下降法在远离极小点位置，每次迭代可使函数值有较多的下降。在接近极小点位置，每次迭代行进的距离缩短，收敛速度减慢。最速下降性”只是迭代点邻域的局部性质。从全局看，并非最速下降方向。（3）现象2021/8/15124.2最速下降法（4）计算步骤1)给定初始迭代点x0，精度ε，维数n；2)令k←0；3)计算xk的梯度；4)以xk点为出发点，求方向上的最优步长αk，有；终止判别？若满足条件，输出最优解，xk+1→x*,f*←f(x*)。否则，令k←k+1，转步骤3)。2021/8/15134.2

7、最速下降法（4）计算步骤αα2021/8/15144.2最速下降法（5）举例沿负梯度方向进行一维搜索，有例：求目标函数的极小点。取初始点解：初始点处梯度：2021/8/15154.2最速下降法（5）举例为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件2021/8/15164.2最速下降法（5）举例第一次迭代设计点位置和函数值因此，迭代终止：2021/8/15174.2最速下降法（5）举例2021/8/15184.2最速下降法（5）举例例：用最速下降法求极小点，精度解：1）取初始点。初始梯度2）沿负梯度方向一维搜索

8、3）求最优步长初始点处函数值2021/8/15194.2最速下降法（5）举例4)计算新的迭代点位置和函数值5）迭代终止条件判断继续迭代。取初始点为X1，继续重复1-5步，直到满足精度要求。迭代10次的结果是：2021/8/15204.2最速下降法（5）举例这个问题的目标函数的等值线为一簇椭圆,迭代点从X0走的是一段锯齿形路线，见图。2021/8/15214.2最速下降法（5）举例其等值线由椭圆变成一簇同心圆。则函数f(X)变为：y1=x1,