初中培优竞赛第4讲因式分解.docx

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1、1.(1、2)（数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）若m=20062+20062×20072+20072，则m()A.是完全平方数，还是奇数B.是完全平方数，还是偶数. C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数分析：因为20062的个位数字为偶数，20072的个位数字为奇数，所以m为奇数，原式=20062-2×2006×2007+20072+20062×20072+2×2006×2007+1-1=(2006-2007)2+2006×2007+12-1=(2006×2007+1)2，则m也是完全平方数.答案：

2、A技巧：观察题意，用添项法组成完全平方公式解题.2.(1、2)（数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数），M的值一定是() A.正数B.负数C.零D.整数分析：因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2≥0, 因为x-2y,x-2,y+3这三个数不能同时为0，所以M>0.答案：A技巧：用裂项法，把原式拆为3个完全平方式即可解题。1.(2、3)（数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）满足等式xy+yx-2003x-2

3、003y+2003xy=2003的正整数对(x，y)的个数是() A.1B.2C.3D.4证明：原等式通过移项可化为(xy-2003)(x+y+2003)=0，又因为x+y+2003>0，故xy-2003=0,所以xy=2003.又因为2003为质数，所以必有x=1y=2003或x=2003y=1答案：B技巧：此题我们可以先移项，再通过合并同类项从而因式分解，然后根据题意分析.易错点：得到结果后，x、y的结果可以互换，所以答案不能为A.2.(3、4)（数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题）把(a+b+c+d)(b+c-a-d

4、)(c+a-b-d)(a+b-c-d)+16abcd因式分为.原式=（a+b）3.(1)（数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题）在实数范围内分解因式：x4+x3-3x2-4x-4=.详解：原式=x2x2+x+1-4x2+x+1=x2-4x2+x+1=x+2x-2x2+x+1技巧：根据各项的系数，增补分组进行因式分解。1.(2、3)（数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题）分解因式：2x2-xy-6y2+7x+7y+3=.分析：因为2x2-xy-6y2=(x-2y)(2x+3y)，所以可设2x2-xy-6y2+7x+7y+3=(

5、x-2y+a)(2x+3y+b),a,b为待定系数，因此有2a+b=7,3a-2b=7,ab=3. 解得a=3,b=1，所以原式=(x-2y+3)(2x+3y+1).答案：2x2-xy-6y2+7x+7y+3=(x-2y+3)(2x+3y+1)技巧：因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.2.(2、3)（数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,求k的值分析：因为x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，那么我们分组分解，保证每

6、一个组里都含有因式x+1.详解：x3+3x2-3x+k=x3+x2+2x2+2x-5x-5+5+k=x2x+1+2xx+1=(x+1)(x2+2x-5)+(k+5).所以k=-5.技巧：原式有一个因式，那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式，得解.1.(2、3)（数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）证明n3+32n2+12n对于：(1)任何自然数n都是整数；(2)任何自然数n都是3的倍数.分析：为了证明结论，我们先对原式进行因数分解，再观察即可解题.证明：(1)设N=n3+32n2+n2=n22n2+3n+1=n(n

7、+1)(2n+1)2.因因为n，n+l是连续自然数，必有一个是偶数，所以N一定是整数.(2)当n=3k（k是自然数）时，N是3的倍数；当n=3k+1（k是自然数）时，2n+1= 3(2k+1)，N是3的倍数；当n=3k+2（k是自然数）时，n+1=3(k+1)，N是3倍数. 综上所述，对任何自然数n，N都是3的倍数.技巧：我们把原式因式分解，再分情况讨论，能很简便解题.2.(2、3)（数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）如果x3+αx2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值分析：因为x+1,x+2是x3+ax2+

8、hx+8的因式，所以当x=-1和-2时，x3+ax2+bx+8的值为0.代入解方程即可得解.详解：因为原式含有x+1和x+2两个因式，所以x=-1和x=-2，是x3+αx2+bx+8=0的两个解，即：-1+a-b+8=0-8+4a-2b+8=0.解得a=7b=14.所以a+b=21. 答：