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1、4-1函数与方程基础巩固一、选择题1．(2010·天津文，4)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案] C[解析] ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．2．下列函数中能用二分法求零点的是( )[答案] C[解析] 从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不能运用二分法．故选C.3．已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1(
2、a≠0)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．a>－9且a≠0B．a>－9C．a<－9D．a>0或a<0[答案] A[解析] 由题意可知f(x)＝0有两个根，∴，∴a>－9且a≠0.4．已知函数f(x)＝2ax＋4，若在区间[－2,1]上存在零点x0，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B．[－1,2]C．[－1,4]D．[－2,1][答案] A[解析] 由题设条件知f(－2)·f(1)≤0，∴(－4a＋4)(2a＋4)≤0，即(－a＋1)(a＋2)≤0，∴a≤－2
3、或a≥1.5．函数f(x)是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根[答案] C[解析] ∵f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－)·f()<0，∴f(x)＝0在[－，]上有唯一实根，∴f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实根．6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是( )A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6D．f(x)＝
4、ex＋3x－6[答案] D[解析] 对于A：f(1)＝4，f(2)＝9，f(1)·f(2)>0，无法判断f(x)在[1,2]上是否有零点；对于B：f(1)＝－9，f(2)＝－7，f(1)·f(2)>0，同选项A一样，无法判断；对于C：f(1)＝3，f(2)＝ln2，f(1)·f(2)>0，同选项A、B一样，无法判断；对于D：f(1)＝e－3，f(2)＝e2，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在[1,2]上有零点．二、填空题7．已知f(x)＝mx2＋(4m＋1)x＋4m－1的图像与x轴没有交点，则m的
5、取值范围为__________．[答案] m<－[解析] 函数f(x)的图像与x轴没有交点，即函数f(x)没有零点，亦即方程f(x)＝0没有实根，显然m≠0，故判别式Δ＝(4m＋1)2－4m(4m－1)<0，解得m<－.故当m<－时，函数f(x)的图像与x轴无交点．8．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内的实根情况是________．[答案] 有唯一实根[解析] f(x)＝－x－x3图像在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)
6、·f(b)<0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．三、解答题9．指出方程2x－＝0存在的实数解，并给出一个实数解的存在区间．[解析] 令f(x)＝2x－，在同一坐标系中，分别作出函数y＝2x及y＝的图像，如图所示，由图可知方程2x＝仅有一个实数解，即f(x)仅有一个零点．又f()＝－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，即f()f(1)<0，∴方程2x－＝0在(，1)内仅有一个实数解.能力提升一、选择题1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)内近似解的
7、过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能确定[答案] A[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的范围是( )A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(2，＋∞)D．(0,1)∪(1,2)[答案] A[解析] 令y1＝ax，y2＝x＋a，则f(x)＝ax－x－a有两个零
8、点，即函数y1＝ax与y2＝x＋a有两个交点．(1)当a>1时，y1＝ax过(0,1)点，而y2＝x＋a过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当01.二、填空题3．关于x的方程mx2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则m的范围为________．[答案] m≤1[解析] ①m＝0时，x＝－适合题意．②m≠0时，应有m<0或解得m<0或0<
