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1、Chap.4Chap.4等参元与数值积分等参元与数值积分Chap.4Chap.4等参元与数值积分等参元与数值积分本章重点和应掌握的内容¢等参变换的概念和实现单元特性矩阵的内容和方法.¢实现等参变换的条件和等参元满足有限元收敛准则的条件.Chap.4Chap.4等参元与数值积分等参元与数值积分¢数值积分的基本思想及以Gauss积分为代表的几种常用数值积分方法的特点.¢刚度矩阵数值积分阶次选择的原则以及保证这些原则的具体方案.Chap.4Chap.4等参元与数值积分等参元与数值积分¢关键概念关键概念等(超次)参变换雅克比
2、矩阵和行列式等次变换的条件等参元的收敛性数值积分高斯积分精确积分减缩积分矩阵的秩矩阵奇异性零能模式Chap.4Chap.4等参元与数值积分等参元与数值积分§4.1等参变换的概念和单元矩阵的变换§4.1等参变换的概念和单元矩阵的变换§4.1.0.概述§4.1.1.等参变换§4.1.2.单元矩阵变换Chap.4等参元与数值积分§4.1.0.概述由前面已知插值函数的构造：一维123Lagrange12线性单元二次单元11N(iiξ)=(1+ξξ)N(ξ)=ξξ(1+ξξ)i=1,22iii2插值i=1,2N(ξ)=(1-ξ
3、2)i=3i−11≤≤ξn-1次单元Chap.4等参元与数值积分§4.1.0.概述二维Lagrange插值Chap.4等参元与数值积分§4.1.0.概述7i=1,2,3,44386i=5,72i=4,85……Chap.4等参元与数值积分§4.1.0.概述Chap.4等参元与数值积分§4.1.0.概述………我们注意到：单元的插值函数建立在规则的单元内。Chap.4等参元与数值积分§4.1.0.概述规则化单元？实际单元要解决的问题ηChap.4等参元与数值积分§4.1.1.等参变换规则化单元：母单元实际单元：子单元在自然
4、坐标系内(局部)在笛卡儿坐标系内(整体)Chap.4等参元与数值积分§4.1.1.等参变换子、母单元的几何映射考虑利用结点参数结点参数和形函数形函数建立坐标变换Chap.4等参元与数值积分§4.1.1.等参变换1.利用结点坐标和形函数建立几何变换m**其中N是自然坐标xN(,,)xi=∑ξηζiii=1所给的形函数，myN(*,,)y=∑ξηζiim是几何映射所取i=1的结点数。mzN(*,,)z=∑ξηζiii=1例1：一维等参元单元结点数:m=2，i=1,2母单元（1D）实际单元（3D）⎧⎫xx12⎧⎫⎪⎪⎪⎪x
5、x==⎨⎬y⎨y⎬1212%%⎪⎪⎩⎭z⎪⎩z⎪⎭12几何映射2NxN*()x1=∑ξiii=12yN(*)y=∑ξiii=1母单元（1D）实际单元（3D）2zN(*)z=∑ξiii=11-ξ1+ξN=NN;N=;N=121222Chap.4等参元与数值积分§4.1.1.等参变换例2：二维等参元三角形单元3x(N*,)x=∑ξηiii=13yN*(,)y=∑ξηiii=13zN(*,)z=∑ξηiii=1⎧⎫xx123⎧⎫⎧x⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪xx==⎨⎬y;⎨y⎬;x=⎨y⎬121233m=3%%%⎪⎪⎩⎭zz⎪⎩⎪⎭
6、⎪⎩z⎪⎭123*⎡⎤⎣⎦N=[1-ξ-ηηξ]Chap.4等参元与数值积分§4.1.1.等参变换前面我们已经定义了：未知场函数的近似表达式nmxN*(,,)xuN=a=∑ξηζ∑iiii%%i=1%%i=1mn=且NN*=称为等参映射单元等参映射单元iimn>称为超参元等参元mn<称为次参元Chap.4等参元与数值积分等参数单元的定义：位移插值方式与坐标变换方式采用相同的形函数。例如：坐标变换x=+NxNx+Nx+Nx111223344N=(1+ξξ)(1+ηη)i=1,2,3,4iii4y=+NyNy+Ny+Ny
7、11223344Chap.4等参元与数值积分单元的位移场：uN=+uNu+Nu+Nu11223344vN=+vNv+Nv+Nv112233441N=(1+ξξ)(1+ηη)i=1,2,3,4iii4结点数相同，形函数相同Chap.4等参元与数值积分4xN=∑iix%%i=1%8uN=∑iiu%%i=1%次参元反之为超参元Chap.4等参元与数值积分§4.1.2.单元矩阵变换等参变换单元矩阵的变化：KBdΩL%%Chap.4等参元与数值积分§4.1.2.单元矩阵变换⎡∂⎤⎡∂N⎤00i⎢⎥⎢⎥⎢∂x⎥⎢∂x⎥⎢∂⎥⎢⎡
8、⎤Ni0∂Ni⎥比如：BN==L00⎢⎥=~~ii~⎢⎥⎢⎥∂y⎣⎦0N∂y⎢⎥⎢i⎥⎢∂∂⎥⎢∂∂NN⎥ii⎢⎥⎢⎥⎣∂∂yx⎦⎣∂y∂x⎦Chap.4等参元与数值积分§4.1.2.单元矩阵变换根据微分规则（复合函数的求导）：∂∂NNNN∂xy∂∂∂∂zi=+iii+∂ξ∂∂xyξξξ∂∂∂z∂⎧⎫∂Ni⎪⎪∂x⎪⎪⎡⎤∂∂xy∂z⎪⎪∂N=
