第五章 等参元和数值积分ppt课件.ppt

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1、第五章等参元和数值积分5.1任意四边形单元12043母单元xy1234四边形单元对任意一个四边形单元，只要恰当选择单元自然坐标ξ、η，就得到在ξ、η域的正方形单元。称ξ、η域的正方形单元为母单元。这个变换要实现一点到一点的对应，例如，对角点。5.1任意四边形单元12043母单元xy1234四边形单元位移场函数:或记为矩阵形式:坐标变换:一、坐标变换二、单元应变与应力的子块应是：与算是ξ、η的函数。三、单元刚度矩阵体力的等效结点力：12043母单元xy1234四边形单元面力的等效结点力：5.2等参元的概念和单元矩阵

2、的变换一、等参元的概念位移场函数:坐标变换:等参元或同参元超参元次参元1.一维单元的平面坐标变换21yx21213yx213yx213421342.二维单元的平面坐标变换yxyx子单元母单元3.二维单元的平面坐标变换子单元母单元二、等参元的单元矩阵变换②将整体坐标系中的体积（面积）积分转换为在局部坐标系中的体积（面积）积分；①计算用局部坐标表示的形函数对整体坐标的(x,y,z)偏导数；③用数值积分计算出。(1)导数之间的变换平面问题(2)体积微元和面积微元之间的变换yxz(2)体积微元和面积微元之间的变换体积微元

3、的变换设，ξ面上因为：在η、ζ面上也类似。(2)体积微元和面积微元之间的变换yxz面积微元的变换平面问题yx在的曲线上（坐标线）的弧微分(3)面积坐标与整体坐标之间的变换1.体积坐标(面积坐标)不完全独立此时，母单元为一般体积分在表面上，，表面上可写为：(3)面积坐标与整体坐标之间的变换2.积分公式L3L2L1(4)单元特性矩阵变换1.自然坐标为：在η=c、ζ=c面上也类似。2.自然坐标为：(4)单元特性矩阵变换单元内点号次序错，造成，不允许；b.两点同一造成，不允许；c.单元形状不能太长，太歪，至少影响精度，过

4、分严重的会影响整个方程组的解。1xy3，421234xy1xy3245.3数值积分一、一维数值积分ξi为积分点或取样点，Ai为积分权系数或权数，n为积分点数。对于不同的积分点数n，ξi、Ai是确定的。构造一个多项式,在n个点上上有:Newton-Cotes数值积分和高斯积分1.基本思想2.Newton-Cotes数值积分①多项式的构造②权系数的确定2.Newton-Cotes数值积分③积分点的确定积分点的位置按等间距分布。如积分区域为[a,b],则积分点为④精度n个积分点的Newton-Cotes数值积分可达到n

5、-1阶精度。n个积分点可否达到更高阶精度？2.高斯（Gauss）积分①多项式的构造n次多项式2n-1次多项式②积分点的确定n个积分点③权系数的确定2.高斯（Gauss）积分n个积分点0④精度n个积分点的Newton-Cotes数值积分可达到2n-1阶精度。2.高斯（Gauss）积分2n-1次多项式n个积分点非等间距分布例：用两点高斯（Gauss）积分近似计算解：积分点的确定权系数的确定常用高斯（Gauss）积分点位置及积分权系数积分点数积分点积分权系数1022134二、二维和三维高斯积分二维n1,n2分别为ξ、η

6、方向的积分点数，也称为积分阶次，n1,n2可以相等，也可以不相等。三维①等参元在有限元法中占有重要位置,采用坐标变换,可使局部坐标系中的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状扭曲的单元,易采用数值积分方法5.4本章小结②在计算单元特性矩阵时,要进行导数、体积、面积、长度的相关变换。掌握相应的变换方法是等参元应用的重要环节。③为了保证等参变换，单元的形状不要过分扭曲。④数值积分方式与积分阶次的选择是影响数值计算性质的重要因素之一。⑤常用的等参元有：四、八、十二结点四边形等参元；六、十结点三角形等参元；8、20结点六面

7、体等参元等。⑥子单元边界上结点应尽可能是或接近等分点，避免产生奇异单元，可能情况下应采用直边子单元。