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1、若干题目（1）P18第7题①题目②参考解答（2）P18第8题①题目②参考解答（3）P51第5题①题目②参考解答（4）P51第9题①题目②参考解答（5）P53第1题①题目②参考解答（6）P59第4题①题目*iθ+记CC={0}表示非零复数集合,Ue=∈{
2、θR}是模为1的复数集合,R**+表示正实数集合,证明:C关于数的乘法构成群,且CUR/≅②参考解答*证明:Step(1)证明C关于复数的乘法构成群**a)因为1∈C,所以C非空****b)易知,复数的乘法是CCC×→的一个映射,从而它是C上的一个二元
3、代数系统*c)∀∈αβγ,,Cα()()βγ=αβγ成立,从而满足结合律*d)∀∈αC,有1α=αα1=,所以1是单位元iθ*iiθθ1−*e)∀∈reC,有()re()e=1,所以C中任意元素均有逆元r*综合以上五点可知,C关于复数的乘法构成群*Step(2)证明U是C的正规子群a)可知是交换群,而交换群的子群一定是正规子群,所以仅需证明是子群即可b)∀∈eeUiiθθ12,,有eeiiθθ12()−1=eiθ1−θ2∈U成立*综合上述两点,即知U是C的正规子群（5分，共10分）*+Step(3)证明
4、CUR/≅**a)已证C关于复数的乘法构成群,U是C的正规子群,且易知+R关于数的乘法构成群*ϕθ+ib)定义:CRr⎯⎯→，ϕ()e=r,可知ϕ是映射c)∀∈reiiθθ12,reC*,ϕϕ()rereiiθθ12==(reiθ1)ϕ(reiθ2)rr,所以ϕ12121212是群同态+*d)∀∈rR,存在rC∈使得ϕ()r=r,所以ϕ是满射iiθθ*e)可知ker(){ϕϕ=re∈=C
5、(re)1}=U*+综合上述几点,根据群同态基本定理,可知CUR/≅（7）P59第5题①题目②参考解答（8）P77第
6、2题①题目②参考解答（9）P77第8题①题目②参考解答（10）P99第2题①题目②参考解答（11）P93命题①题目:设Fx[]为域F上的一元多项式环,f()xFx∈[],则((fx))为极大理想当且仅当f()x为不可约多项式②参考解答（必要性）假设f()x不是不可约多项式，可知f()x不是零元也不是可逆元，从而存在非零非可逆元gxhxFx(),()∈[]，使得f()xgx=()()hx，故(())fxg⊂≠(()),(())xfxg(())x，因为(())fx是极大理想，所以(())gx=Fx[]，故g
7、x()=±1矛盾。综上，f()x为不可约多项式（充分性）若有理想Nf⊃(())x，则因为Fx[]是主理想环，所以必有gxFx()∈[]使得Ng=(())x，从而gxfx()
8、()，由f()x是不可约多项式可知，或者gx()=±1，或者gx()=±fx()。前者说明(())gx=Fx[]，后者说明(())fxg=(())x，故(())fx为极大理想（12）P89命题①题目:设aZ∈,则()a为极大理想当且仅当为素数a②参考解答（必要性）易知不是零元，假设aa不是素数，存在bcZ,∈{±1,0}，使得ab
9、=c，故()(),()()abab⊂≠，因为()a是极大理想，所以()bZ=，故b=±1，矛盾。综上a是素数（充分性）若有理想Na⊃()，则因为Z是主理想环，所以必有bR∈使得Nb=()，从而ba
10、，由a是素数可知，或者b=±1，或者b=±a。前者说明()bZ=，后者说明()()ab=，故()a为极大理想（13）P99第4题①题目②参考解答（14）P121第2题①题目②参考解答（15）P122第5题①题目②参考解答
