网络本科数学_3近世代数习题解答(石生明版).pdf

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1、引论章１畅代数问题的特点，代数学研究的对象与特点．２畅域、环、群（半群）的定义与相互联系．３畅群、环、域的基本运算性质：消去律（加法与乘法）及零因子、单位元（零元）和逆元（负元）的唯一性、广义结合律、方幂和倍数．４畅一般域上关于多项式理论、线性方程组理论、线性空间与线性变换的理论的定理．１畅引论章§１的设置是体现总导引中第１点思想．２畅引论章的§２是贯彻总导引中第三点思想．本教材主要讲群、环、域三个运算系统．本章第一节初步体现了研究代数运算系统的必要性．而§２中从人们熟悉的数域，整数环等例子为背

2、景先引入一般域和环的定义．然后才引入只有一个运算的系统：群（半群）．研究它们的基本性质时发现群是更基本的运算系统．这样在后面几章中就是先讲群，后讲域、环．于是群中的一些运算性质，如剩余类（陪集），商群，同态定理等都能在讲域、环时应用．这种次序安排下，逻辑关系清楚，且数学处理上可以简便些、而§２中先按域、环、群次序引入定义却是更适合人们的认知顺序．３畅§２最后的定理非常重要．其一是引入一般域这种运算系统就是为了能应用这个定理．其二，在本教材的开始就引入这个定理是为了使本教材的结构比以前教材有较大的

3、变化．以前教材在群论一章之后必须以很大篇幅讲环，主要是讲因式分解唯一性定理．这几乎成了以前师范院校近世代数课程的主要部分．而更有应用更有兴趣的域论部分就无法讲授．我们的处理可以在本教材的第二、三章大量地讲域（特别是有限域）及其应用．而环只作为铺垫，占很少部分．其中用到的多项式及线性空间的性质全可由上面所述的定理所提供．这种处理使本教材的面貌焕然一新．·1·１畅在一般域上叙述和证明除法算式（带余除法）成立．２畅一般域上非常数多项式都是一些不可约多项式的乘积．３畅设a１１x１＋a１２x２＋⋯＋a１n

4、xn＝b１a２１x１＋a２２x２＋⋯＋a２nxn＝b２⋯⋯⋯⋯as１x１＋as２x２＋⋯＋asnxn＝bs是域F上的线性方程组．试给出“这个方程组是相关或无关的”，“这个方程组的极大无关部分组”的定义．证明这个方程组与它的极大无关部分组同解．以下各题中有倡者为必作题，其余为选作题．倡１畅判断下列哪些是集合A上的代数运算．（１）A＝所有实数，A上的除法．（２）A是平面上全部向量，用实数和A中向量作数量乘法（倍数）．（３）A是空间全部向量，A中向量的向量积（或外积，叉乘）．（４）A＝所有实数，A上的

5、一个二元实函数．倡２畅给定集合F２＝｛１，０｝，定义F２上两个代数运算加法和乘法，用下面的加法表，乘法表来表示：＋０１×０１００１０００１１０１０１例如，０＋１＝１，在加法表中＋号下的０所在的行与＋号右边的１所在的列相交处的元就是１；１×０＝０，在乘法表中×号下的１所在的行与×号右边的０所在的列相交处的元是０．试验证上述加法、乘法都有交换律、结合律，且乘法对于加法有分配律．倡３畅设R是环．证明下述性质：橙a，b，c∈R，（１）a＋b＝a，则b＝０，（２）－（a＋b）＝（－a）－b，（３）－（a－

6、b）＝（－a）＋b，（４）a－b＝c，则a＝c＋b，·2·（５）a０＝０，（６）－（ab）＝（－a）b＝a（－b），（７）（－a）（－b）＝ab（８）a（b－c）＝ab－ac．４畅R是环，a１，a２，⋯，am，b１，b２，⋯，bn∈R，则mnmn∑ai∑bj＝∑∑aibj．i＝１j＝１i＝１j＝１倡５畅R是环，验证：对所有非负整数m，n，橙a，b∈R，有m＋nmnmnmna＝aa，（a）＝a．mmm若a，b交换，则（ab）＝ab．倡６畅R是环，a，b∈R，a，b交换，证明二项定理：nnnnn－１

7、n－kkn（a＋b）＝a＋ab＋⋯＋ab＋⋯＋b，１k其中nkn（n－１）⋯（n－k＋１）＝Cn＝k１·２⋯k－１－１７畅R是环，a１，a２，⋯，am∈R，分别有乘法逆元素a１，⋯，am，则a１⋯am－１－１－１－１的逆元素为amam－１⋯a２a１．若a１，⋯，am两两交换，则a１a２⋯am有逆元素的充要条件是a１，⋯，am皆有逆元素．８畅R是环，a，b∈R．证明c（１－ab）＝（１－ab）c＝１痴（１－ba）d＝d（１－ba）＝１，其中d＝１＋bca．即若１－ab在R内可逆，则１－ba也可逆．

8、元素１＋adb等于什么？９畅Mn（F）为域F上全体n×n阵作成的环，n≥２．举出其中零因子的例子．１畅（１）否，（２）否，（３）是，（４）是．２畅证明由于a＋b和b＋a，a＋（b＋c）和（a＋b）＋c中１，０出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故F２中加法交换律和结合律成立．由于ab和ba，a（bc）和（ab）c中如有０出现，其积为零，否则其积为１，故这两对积分别相等，于是F２中乘法交换律和结合律成立．对a（b＋c）和ab＋ac，若a＝０，这两式子都为零；若a＝１，这两式子都为b＋c，对这两