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1、立体几何线面角二面角解答题练习1．四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；解答：解法一：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，故，由，，，得，．的面积．连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，DBCAS解得．设与平面所成角为，则．所以，直线与平面所成的我为．解法二：（Ⅰ）作
2、，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．DBCAS因为，所以．又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，，，，，，，，所以．（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．，，与平面内两条相交直线，垂直．所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．，，所以，直线与平面所成的角为．AEBGDFCAEBCFDG1G2图1图27、如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图2．（I）证明：平面平面；（II）当，，时，求直线和平面所成
3、的角；解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（II）过点作于点，连结．由（I）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，故．因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．由题设，，，则．所以，，，．因为平面，，所以平面，从而．故，．又，由得．故．即直线与平面所成的角是．解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴
4、、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），由题设，，，则，，，相关各点的坐标分别是，，，．所以，．设是平面的一个法向量，由得故可取．过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．因为，所以，．设（），由，解得，所以．设和平面所成的角是，则．故直线与平面所成的角是．16、（浙江理19）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角；解答：方法一：（I）证明：因为，是的中点，所以．又平面，所以．（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．是直线和平面
5、所成的角．因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此．设，，在直角梯形中，，是的中点，所以，，，得是直角三角形，其中，所以．在中，，所以，故与平面所成的角是．方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．（I）证明：因为，，所以，故．（II）解：设向量与平面垂直，则，，即，．因为，，所以，，即，，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是．2.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．解法一：依题设知
6、，．ABCDEA1B1C1D1（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．在平面内，连结交于点，由于，故，，ABCDEA1B1C1D1FHG与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角．，，．，．又，．．所以二面角的大小为．解法二：ABCDEA1B1C1D1yxz以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．等于二面角的平面角，．所以二面角的大小
7、为．安徽卷（18）．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE又（2）为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作于点Q，又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平
8、面OCD的法向量为,则即取,解得(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为福建卷如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥
