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《以正方体为载体探究空间角.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、以正方体为载体探究空间角正方体的六个面都是正方形，有众多相等的线段和角，还有很多平行和垂直以及对称的条件，这些都为研究空间角提供了有效的依据，只要很好的运用，空间角的问题是不难解决的.一、垂连求角正方体有很多垂直关系，只要善于利用，就能将空间角转化为平面角.例1正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，P是AD的中点,求二面角A-BD1-P的大小.解：如图1,过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F,连结EF•由AB丄平面AD1，得AB丄PF,又PFXAD1,所以PF丄平面ABD1,而PEXBD1,故EF1BD1,ZPEF为所求二面角平面角.RtAADDl^AAFP,利
2、用相似比得PF二24.在厶PBD1中，PD1=PB=52,因为PE1BD1,所以BE二32.在RtAPEB中,PE=PB2-BE2二22•在RtAPFE中，sinZPEF二PFPE二12,所以ZPEF=n6.例2如图2,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m,试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.解：连AC，设ACABD-O.AP与平面BDD1B1交于G，连0G,由PC〃面BDD1B1,得OG〃PC,故0G二12PC二m2.又A0丄DB,A01BB1,从而A0丄面BDD1B1,故ZAGO为直线AP与平面BDD1
3、B1所成角.在RtAAOG中，tanZAG0=2m=32,所以m二13•故当m二13时，AP与平面BDD1B1所成角正切值为32.二、射影法正方体的六个面都是正方形，有很多对称条件，善于利用射影，研究空间角非常方便.例3正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q是A1A与AB的中点，求平面C1PQ和底面ABCD所成角0的余弦.解：ZXC1PQ在底面ABCD上的射影为ZXCAQ•设AP二AQ二1,则PQ=2,PCI二QC1二3,取PQ中点M,易求得:C1M=,由SAC1PQ=12•2•342二172,SZXCAQ二1,得cos0=SACAQSAC1PQ=21717.例4在棱长为
4、a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点，求直线AD与平面B1EDF所成角的大小.分析：如图3，过A点作平面B1EDF的垂线，垂足为H，直线AD与平面B1EDF所成的角就是ZADH.由ZADE=ZADF,得AD在平面B1EDF上的射影在ZEDF的平分线上.又因为B1EDF是菱形，DB1为ZEDF平分线，垂足H在DB1±,故直线AD与平面B1ED所成角为ZADB1.在RtAB1AD中,AD=a,B1D=3a,由cosZADBl二ADB1D二33,得AD与平面B1EDF所成角为arccos33.例5正方体ABCD-A1B1C1D1在平面a的一侧，且
5、顶点A在平面Q内，A1D〃a,棱AA1与平面a所成的角为兀6,求对角线AC1与平面a所成的角.解：如图4,把正方体射影到平面a上，则AC1与AD1的射影都在直线A0'上.设正方体棱长为2,在RtAOOzA中，00’二l,A0二2,sinZ0A0'=22,Z0A07二□4•在RtAClDlA中,C1D1二2,AC1二23,sinZClADl=33,ZClADl=arcsin33.所以AC1与平面a所成角为ji4+arcsin33.三、向量法正方体易于建立空间直角坐标系，运用向量法，以算代证，减少辅助线，大大简化过程.例6正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AD上，且3AE二
6、2AD，求异面直线D1B和EC所成的角9.解：以D为坐标原点，建立如图5的空间直角坐标系，设正方体的棱长为3,则D1(0,0,3),B(3,3,0),E(1,0,0),C(0,3,0),所以DIB二(3,3,-3),EC二(T，3,0)•故cos0-DIB•ECDIB-
7、EC
8、=3015.所以，异面直线DIB与EC所成的角0=arccos3015.例7如图6,已知ABCD-A1E1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC=1.(I)求证：E、B、F、D1四点共面；(II)若点G在BC上，3BG二2，点M在上，GM丄BF,垂足为H,求证：EM丄平
9、面BCC1B1；(III)用0表示截EBFD1和侧BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan0.解：(I)建立如图空间直角坐标系，由BE=(3,0,1),BF二(0,3,2),BD1二(3,3,3),得BD1二BE+BF,故BD1，BE,BF共面，又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面.(II)设M(0,0,z),则GM二(0,-23,z),所以GM•BF二-23X3+2z二0,解得z二1.故ME二(3,0,0),又BB1二(0,0,3),BC二(0,3,0),所以ME•BB1=0,ME-BC=
