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1、清华大学本科生考试试题专用纸B卷考试课程几何与代数（1）2009年1月7日班号学号姓名一．填空题（请将答案直接填在横线上，每题5分，合计40分）TTT1．设α=(1,1,1)，β=(1,2,3)，矩阵A=αβ，A的全部特征值为．⎧x=−2−4tx−1y+1z⎪2．两条异面直线L1:==，L2:⎨y=2+t的距离是．2−21⎪⎩z=3+2t4TT3．设R的3维子空间W的两组基分别为α=(1,0,0,0)，α=(0,0,0,1)，12TTTTα=(0,1,1,0)及β=(2,1,1,0)，β=(0,1,1,2)，β=(
2、1,3,3,1)，则α,α,α到3123123β,β,β的过渡矩阵是．123T4．设3阶实对称方阵A的特征值1的特征向量为X=(1,0,1)，特征值2的特征1T向量为X=(1,1,−1)，则特征值3的特征向量为．2**5．设A是n阶可逆方阵A的伴随矩阵，A的特征值是λ,?,λ，则A的特征值1n是．nTTT6．设α,β∈F，α=(1,1,?,1)，β=(2,2,?,2)，则E−αβ=．n⎛100⎞⎜⎟7．已知A相似于B=⎜022⎟，则A的秩与A−2E的秩的和r(A)+r(A−2E)=⎜⎟⎝022⎠．⎛100⎞⎛100
3、⎞⎜⎟⎜⎟8．设A=⎜0−12⎟，B=⎜010⎟，试判断A与B是否相抵，相似，⎜⎟⎜⎟⎝022⎠⎝00−1⎠你的结论是．第1页/共2页二．计算题（9题12分，10题15分，合计27分）⎛102⎞⎜⎟−19．实对称矩阵A=⎜012⎟，求正交矩阵Q和对角阵Λ，使得QAQ=Λ。⎜⎟⎝22−1⎠10．当λ为何值时，下列方程组有解，并求解(用λ的函数表示)：⎧λx1+(λ−1)x2+x3=2λ⎪⎨(λ+3)x1+x2+2x3=λ⎪3(λ+1)x+λx+(λ+3)x=3⎩123三．证明题（11题15分，12题10分，13题8分
4、，合计33分）11．设A,B是n阶方阵，满足A+B=E，记方程组ABx=0的解空间为V，Ax=0n的解空间为V，Bx=0的解空间为V，试证：12（1）AB=BA；（2）V=V+V；12（3）V=V⊕V．12nnnn12．设ϕ:C→C为线性变换(其中C是n维复线性空间)，W⊆C为线性子空间，n若ϕ(W)⊆W，则称W为ϕ的不变子空间。设W的基为{e,?,e}，扩充成C的基1r{e,?,e}，ϕ关于基{e,?,e}所对应的矩阵是A，证明：存在X∈W，使得X为1n1nA的一个特征向量。13．设A是n阶上三角阵，对角元为λ,
5、?,λ。证明：1n(1)当λ≠λ(i
