怎样证明弦切角.doc

《 怎样证明弦切角.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、怎样证明弦切角　　怎样证明弦切角　　设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d，　　则∠tcb=∠cda　　∵∠tcb=90-∠ocd　　∵∠boc=180-2∠ocd　　∴,∠boc=2∠tcb(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)　　∵∠boc=2∠cab　　∴∠tcb=∠cab(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)　　2　　接oboc过o做oe⊥bc　　所以∠a=1/2　　又因为∠oct=90°　　∠oec=90°　　所以∠eoc=∠tcb　　所以∠tcb=∠a　　3　　温馨提示　　设切点为a

2、切线ab弦ac圆心为o过a作直径ad连oc　　角cab等于90度减角dac　　因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac　　即可证明角aoc等于二倍的角cab　　参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半　　4　　线段ad与线段ef互相垂直平分。　　证明:设ad交ef于点g.　　因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b，　　又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad，　　从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad,　　而∠pac+∠dac=∠pad，　　∠b+∠bad=∠pda，所以　　∠pad=∠

3、pda，则△pad为等腰三角形，　　因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad，　　从而ad垂直ef，　　则∠age=∠agf=90°，　　再由∠gaf=∠gae，得到　　△eag≌△fag，　　从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。　　5　　(1)圆心o在∠bac的一边ac上　　∵ac为直径，ab切⊙o于a，　　∴弧cma=弧ca　　∵为半圆,　　∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.　　过a作直径ad交⊙o于d,　　若在优弧m所对的劣弧上有一点e　　那么，连接ec、ed、ea　　则

4、有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab　　∴∠cea=∠cab　　∴(弦切角定理)　　(3)圆心o在∠bac的外部,　　过a作直径ad交⊙o于d　　那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90　　∴∠cda=∠cab　　∴(弦切角定理)　　本段弦切角推论　　推论内容　　若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等　　应用举例　　例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.　　解：连结oa，ob.　　∵在rt△abc中,∠c=90　　∴∠bac=30°　　∴b

5、c=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)　　例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.　　求证：ef∥bc.　　证明：连df.　　ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac　　∠efd=∠bad　　∠efd=∠dac　　⊙o切bc于d∠fdc=∠dac　　∠efd=∠fdc　　ef∥bc　　弦切角逆定理证明　　已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线　　证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，　　则角adc=角abc=角cae　　而ad是直径，因此角ac

6、d=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae　　所以角dae=角dac+角cae=90度　　故ae为切线　　弦切角定理证明　　弦切角定理　　本段弦切角定义　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）　　如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。　　本段弦切角定理　　弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：　　证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。　　∵∠tcb=90-∠oc

7、b　　∵∠boc=180-2∠ocb　　∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）　　∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)　　∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）　　证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.　　求证：(弦切角定理)　　证明：分三种情况：　　(1)圆心o在∠bac的一边ac上　　∵ac为直径，ab切⊙o于a，　　∴弧cma=弧ca　　∵为半圆,　　∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在

8、∠bac的内部.　　过a作直径ad交⊙o于d,　　若在优弧m所对的劣弧上有一点e　　那么，连接ec、ed、ea　　则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab　　∴∠cea=∠cab　　∴(弦切角定理)　　(3)圆心o在∠bac的外部