复变函数与积分变换课件1.5-复变函数.ppt

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1、§1.5复变函数一、基本概念二、图形表示三、极限四、连续一、基本概念在以后的讨论中，G常常是一个平面区域，称之为定义域。按照一定法则，有确定的复数w与它对应，一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。上定义一个复变函数，记作定义设G是复平面上的一个点集，对于G中任意的一点，z对每个有唯一的w与它对应；单值函数比如多值函数对每个有多个w与它对应；比如则称在G一、基本概念一个复变函数对应于两个二元实变函数。分析则可以写成设其中，与为实值二元函数。分开上式的实部与虚部得到分开实部与虚部即得代入得解记P21例1.13GD二、图形表示C映射复变函数在几何上被

2、看作是把z平面上的一个平面z平面w点集变到w平面上的一个点集的映射(或者变换)。其中，点集称为像，点集称为原像。函数、映射以及变换可视为同一个概念。(分析)(几何)(代数)Gzxywuv解(1)点对应的像(点)为(2)区域D可改写为：令则可得区域D的像(区域)G满足即P22函数对应于两个二元实变函数例因此，它把z平面上的两族双曲线分别映射成w平面上的两族平行直线xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20三、极限定义设函数在的去心邻域内有定义,若存在复数使得当时，有记作或注(

3、1)函数在点可以无定义；(2)趋向于的方式是任意的。则称A为函数当z趋向于z0时的极限，P23定义1.1xyz0d几何意义三、极限它的像点就落在A的预先给定的e邻域内。uvAe当变点一旦进入的充分小的d邻域时,z0zf(z)z性质如果则三、极限定理三、极限设证明如果则当时，则必要性“”P23定理1.1(跳过?)证明充分性“”则当时，如果定理设三、极限则三、极限关于含的极限作如下规定：(3)所关心的两个问题：(1)如何证明极限存在？(2)如何证明极限不存在？选择不同的路径进行攻击。放大技巧。(1)(2)xy讨论函数在的极限。例当时，当时，因此极限不存在

4、。解方法一P24例1.15解当时，当时，因此极限不存在。方法二xy方法三沿着射线与有关，因此极限不存在。讨论函数在的极限。例xy四、连续定义则称在点连续。若z0若在区域D内处处连续，则称在D内连续。注(1)连续的三个要素：存在；存在；相等。(2)连续的等价表示：其中，(3)一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。通常说：当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。P24定义1.2性质四、连续(1)在连续的两个函数与的和、差、积、商(分母在不为零)在处连续。z0z0z0(2)如果函数在处连续，函数在连续，则函数在处连续。z0z0(由基本初等函数的连续性可

5、得初等函数的连续性)(3)如果函数在有界闭区域D上连续，则P26证(略)例证明在复平面上除去原点和负实轴的区域上连续。讨论函数的连续性。例(当时)故函数处处连续。解yxez0dP25例1.16证明(略)例如函数在复平面内除原点外是处处连续的。因为除原点外是处处连续的，而是处处连续的。P25定理1.2四、连续……