矩阵位移法ppt课件.ppt

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1、第九章矩阵位移法1矩阵代数复习1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m行和n列，称为mn阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLéëêêêêêùûúúúúú2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n时，称为n阶方阵。3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=[]aaaan1112131···由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：4、纯量仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。5、矩阵乘法两个规则：（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相

2、乘，即ABCplmplnmn´´´==当时才能相乘AB=aaaabb111221221121éëùûúéëùûú共形2×22×1BA=bbaaaa112111122122éëùûúéëùûú非共形2×12×2（2）不具有交换律，即AB¹BA6、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132éëêêêùûúúú其转置矩阵为AT=éëêùûúaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若A=BCD则AT=DTC

3、TBT7、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。若AB=0，但不一定A=0或B=0。任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI=AIA=A10、逆矩阵在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若AB=C则B=A-1C此处A-1称为矩阵A的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：AA-1=A-1A=I矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵若一方阵A每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而所有的两个不同

4、行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则A=cossinsincosaaaa-éëêùûú正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1=AT9-1结构的离散化与杆端位移、杆端力的符号结构的离散化：等截面直杆单元①②③④⑤ABCEDF①②③④ABDEC杆端力和杆端位移的符号■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；■其它：与坐标轴同向为正。iE，I，A，lj■：顺时针为正ee杆端位移杆端力局部坐标系e9-2局部坐标系中自由单元的单元刚度矩阵…………eee1.一般单元的刚度方程和刚度矩阵用e表示e用e表示eee局部坐标下的单元刚度方程

5、eeee局部坐标下的自由单元的单元刚度矩阵2.单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义单位杆端位移引起的杆端力（2）单元刚度矩阵是对称矩阵反力互等定理（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。解不唯一★由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移（刚体位移+变形）。解唯一eeeeee3.特殊单元若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。e12e（1）连续梁单元的刚度方程单元两端只有转角位移eeeee12eeee（2）桁架单元刚度方程（3）刚架中忽略轴向变形的

6、梁单元刚度方程9-3整体坐标下的单元刚度矩阵1.单元坐标转换矩阵局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力F(1)xyxyαeijF(3)F(2)F(4)F(6)F(5)xyxyαeijF(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)的符号：由x轴到x轴的夹角以顺时针转向为正。eeee坐标转换矩阵（正交）同理：ee其中:整体坐标下的杆端位移2.整体坐标系中的单元刚度矩阵eeeee整体坐标下的单元刚度方程整体坐标下的单元刚度矩阵性质与局部坐标系下的单元刚度矩阵相同eeeeeeeeeeeeeeee9-4连续梁的整体刚度矩阵1.整体刚度矩

7、阵的集成总体编码:只对≠0结点位移(结点力)进行编码①②231①②231F1F2F3(1)(2)①(1)(2)②局部编码:对每个单元的杆端位移进行编码1223①②231只考虑单元①发生位移需要的结点力①①①①①扩展①②231F1F2①①F3①①①=0②②231F1F2①②231只考虑单元②发生位移需要的结点力②①②②扩展F3②②②②②②=0yx考虑两个单元发生位移需要的结点力①②231①②3F1=F1+F1①②F2=F2+F2①②F3=F3+F3①②①①②②结点力列向量结点位移列向量整体刚度矩阵21①②展开单元①的贡献矩阵单元②的贡献

8、矩阵单元①贡献矩阵的形成单元①的定位向量单元②贡献矩阵的形成单元②的定位向量换码重排座换码重排座形成总刚：将整体坐标系下的单元刚度矩阵按定位向量进行换码，然后，进行集成。例题试求连续梁的整体刚度矩阵1③②23①解(1)总