非齐次线性方程组解得结构.ppt

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1、主要内容一.非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质与结构、计算方法都是线性方程组的理论基础，它们在实际应用与研究上都十分重要，我们必须熟练掌握.§3.6非齐次线性方程组解的结构二.非齐次线性方程组解的结构三.非齐次线性方程组解的计算方法11一.非齐次线性方程组解的性质设有线性方程组其矩阵方程为若令，线性方程组21称为方程组（3.16）的导出组,其矩阵方程为证是其导出组（3.17）的解向量.性质1若是线性方程组（3.16）的任意两个解，则因为是方程组（3.16）的解，故31的任意一个解，则性质2若方程组（3.16）的解，是其导出组（3.17）仍是方程组（3.16）的解。证因为

2、二.非齐次线性方程组解的结构41（3.17）的通解，即定理3.11若是方程组（3.16）的一个解，是其导出组其中是其导出组（3.17）的基础解系,则证由性质2必是方程组（3.16）的解.表示了方程组（3.16）的全部解，其中为任意常数.下面证明，方程组（3.16）的任意一个解也一定具有（3.18）的形式.51即存在常数，使得因此必定可由导出组（3.17）的基础解系线性表出由性质1一定是导出组（3.17）的解因此方程组（3.16）的任意一个解可表示为（3.18）的形式.其中是方程组（3.16）的一个特解,（3.18）式称为方程组（3.16）的结构式通解,简称通解.61注1若由定理3.1

3、0知，当方程组（3.16）有解时，它有唯一解的充要条件是其导出组（3.17）仅有零解;它有无穷解的充要条件是其导出组有无穷多解.由定理3.11可得求解非齐次线性方程组通解的步骤（1）对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形阶梯矩阵；（2）将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方程组；三.非齐次线性方程组解的计算方法71（5）写出非齐次方程组的通解（4）写出非齐次方程组的特解；（3）由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个基础解系，并写出齐次方程组的通解；例1求解方程组81解91101111解例2求下述方程组的解121所以方程组有无穷多解.继续进行初等行变换，得131所以B矩阵的列向量组

4、中，是一个极大线性无关组将线性表示为141求原方程组的一个特解为所以方程组的通解为故得导出组的基础解系151另一种解法161则原方程组等价于方程组为171181所以方程组的通解为191例3已知是四元非齐次线性求方程组AX=B的三个解,求方程组AX=B的通解.解由题设因为所以是导出组的解.201即导出组的基础解系只含有一个解向量.故原方程组的通解.211解221231１．齐次线性方程组基础解系的求法（1）对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵四、小结241由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．251故为齐次线性方程组的一个基础解系.261()

5、()nBRAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况271３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解281４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．291思考题1301思考题1解答311321解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解.思考题2设线性方程组已知是该方程组的一个解，试求方程组的全部【分析】含未知参数的线性方程组

6、的求解,当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形,然后对参数进行讨论.由于本题已知了方程组的一个解,于是可先由它来(部分)确定未知参数.331将代入方程组，得对方程组的增广矩阵施以初等行变换,得，当时，有，思考题2解答341即方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为故方程组的全部解为其中k为任意常数．，当时，有351，故方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为故方程组的全部解为其中为任意常数361