高中数学基本不等式新人教A版必修5ppt课件.ppt

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1、基本不等式1思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？2ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：S___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？34ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab5思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）6结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R问题一7问题一替换后得到：即：即

2、：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二8证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法问题二证明不等式：9特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>010你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,

3、BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______11你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab12适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不

4、小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式13例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC14例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩

5、形菜园的面积为xym2得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；15①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).1416变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各

6、为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为xym2ABDC得144≥2xy当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即xy≤72即x=12，y=6x+2y=24x=2y17变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为xym2ABDCx+y不是定值.2=24为得2xy≤144当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，

7、最大面积是72m2即xy≤72即x=12，y=6x+2y=24x=2y18变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设AB=x，BC=24－2x，ABDC19变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=24－2x，矩形花园的面积为x(24