随机过程随机分析.ppt

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1、第六章随机分析随机分析简介微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析2随机分析简介一、均方收敛定义6.4设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有成立，则称{Xn}均方收敛于X。记作或(meansquare)(limitinmean)3随机分析简介定理6.2（柯西收敛定理）二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件是4随机分析简介定理6.2设{Xn},{Yn},{Zn},都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，{cn}为常数序列，a,b,c为常数，令则(1)(2)(3)5随机分析简介(4)(5)

2、(6)6随机分析简介定理6.4设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件是下列极限存在7随机分析简介二、均方连续定义6.6设有二阶矩过程{X(t),tT}，若对每一个tT，有则称X(t)在t点均方连续，记作若对T中的一切点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续8随机分析简介定理6.5（均方连续准则）二阶矩过程{X(t),tT}，在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。推论若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上连续，则它在TT上连续。9随机分析简介三、均方导数定义6.7二阶矩过程{X(t

3、),tT}，若存在随机过程X(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。10随机分析简介若X(t)在T上每一点均方可微，则称X(t)在T上均方可微。类似地可定义二阶均方导数相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为11随机分析简介定理6.6（均方可微准则）二阶矩过程{X(t),tT}，在t点均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。推论1二阶矩过程{X(t),tT}在T上均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上每一点广义二阶可微。推论

4、2若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上每一点广义二阶可微，则12随机分析简介13随机分析简介四、均方积分设{X(t),tT}为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=[a,b]，用一组分点将T划分如下：a=t0

5、]上可积。16随机分析简介定理6.8设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有(1)(2)17随机分析简介定理6.9设二阶矩过程{X(t),tT}在区间[a,b]上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),tT}在区间[a,b]上均方可微，有Y(t)=X(t)。推论设X(t)均方可微，且X(t)均方连续，则18随机分析简介例6.7设{X(t),tT}是实均方可微过程，求其导数过程{X(t),tT}的协方差函数BX(s,t)。解由定理6.6推论2(1)由定理6.6推论2(4)19随机分析简介所以20