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1、第一节数列的概念与简单表示法基础梳理1.数列的概念（1）按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项.（2）数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…，数列简记为{an}，其中a1称为数列的第1项(或称为首项），a2称为第2项，…，an称为第n项.2.数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列——项数有限的数列；无穷数列——项数无限的数列.3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*（或它的有限子集{1,2,…,k}）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时
2、，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.6.数列的简单表示法:列举法、列表法、解析法、图象法.典例分析题型一数列的概念及通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,....;(2)(3)(4)(5)5.递推公式如果已知数列{an}的首项（或前n项)，且的关系可以用
3、一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.任一项与它的前一项（或前几项）间分析分析各项的特点，找出规律，归纳出结论，然后再进行验算，从而得出答案.解(1)中3可看做,5可看做,9可看做,17可看做,33可看做,…,所以.(2)每一项的分母都是2，分子是相应项数的平方，所以.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可知，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是,,，,按照这样的规律,第1、2两项可改写为,,所以(4)数列中的1可看成，而0可看成，即.(5)数列中偶数项
4、均为0,奇数项的符号正负相隔，则想到用正弦、余弦函数来调整，若数列为1,0,-1,0,1,0,…,则可用来表示,所以数列1,0,,0,,0,…的通项公式为学后反思由数列的前几项写出一个通项公式尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现其规律，首先要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变化而变化，其次要分析变化的因素与序号n的联系,再次是写出通项后进行验证或调整.举一反三1.数列的通项公式an是.解析:将数列中的各项变为故其通项公式答案:题型二递推公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式.分析(1
5、)将递推关系写成n-1个等式累加.（2）将递推关系写成n-1个等式累乘，或逐项迭代也可.解（1）当n=1,2,3,…,n-1时，可得n-1个等式.an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,…,a2-a1=1,将其等式两边分别相加，得an-a1=1+2+3+…+(n-1).∴(2)方法一：方法二：由,得学后反思（1）对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法求通项.（2）对于形如的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法求通项.举一反三2.根据下列各个数列
6、{an}的首项和基本关系式，求其通项公式.（1）a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2);解析：(1)∵∴…以上n-1个等式两边分别相加得(2)以上n-1个等式两边分别相乘得题型三利用数列的前n项和公式求通项【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.（1）Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.分析当n≥2时，由,求出.再验证当n=1时,是否适合上式.解(1)a1=S1=2-3=-1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式，
7、∴an=4n-5.(2)a1=S1=3+b,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时，a1适合此等式；当b≠-1时，a1不适合此等式.∴当b=-1时，an=2·3n-1;当b≠-1时，学后反思已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：①应重视分类讨论的应用，分n=1和n≥2两种情况讨论,特别注意用an=Sn-Sn-1时需n≥2;②由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a1也适合“an式”,则需统一“合写”;③由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a1
8、不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示（“分写”）,即3.已知数列{}的前n项和，求数列{}的通项公式.（1）(2).解析:(1)当n=1时，;当n≥2时，又∵当n=1时，∴(2)当n=1时，;当n≥2时，∴题型四数列与函数【例4】（14分)
