三招求圆的切线方程.doc

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1、三招求圆的切线方程 江西省永丰中学吴全根求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招. 一、公式法可求过圆上一点的切线方程.公式如下： ①过圆x2+y2=r2上点P（x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. ②过圆（x-a)2+(y-b)2=r2上点P（x0,y0)的切线方程为（x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ③过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上点P（x0,y0)的切线方程x0x+y0y+D

2、+E+F=0. 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①. （2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用. （3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之. 例1求过点A（4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8相切的切线方程. 解一：（公式法）(4-2)2+(1+1)2=8点A（4，1）在圆上， 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1)(y+1)=8,即x+y-5=0. 解二：（公式推导法）圆心C（2，-1）k=1过点A的切线的斜率k=-1. 所求切线方程为y-1=-1(x-4),

3、即x+y-5=0. 二、待定系数法可求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k的切线方程.此时可设圆的切线方程为y-y=k(x-x)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径”这一性质求k.例2求过点M（2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程. 解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0(倾斜角不为900）,d=,k=,切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2.过M点的切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 点评：因为过圆外一点P（x0,y0）引

4、圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k一般有两个值,若k只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x0，应补回来.三、判别式法其依据是圆的切线的定义. 例3已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0，若圆C的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程. 解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c分别代人圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0，或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0 直线与圆相切，上述两方程均有等根，=0，由此可得：b=3或b=-1,c=5或c=1 切线方程为x+y-3=0

5、或x+y+1=0或x-y+5=0或x-y+1=0.(2)当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±)x.点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.