马江红利用一题多解（证）培养学生发散思维.doc

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1、利用一题多解（证）培养学生发散思维湖北省秭归县郭家坝镇初级中学马江红美国心理学家吉尔福特说:“人的创造力主要依靠发散思维,它是创造思维的主要成分。”在中考数学复习中，实践充分告诉我们，学生所做的复习题不在于多，而在于精，我们要大力摆脱题海战术，寻求知识的共同点，延伸点，将其综合运用。其中寻求多种途径的解法（或证法），能促使学生思维向多层次、多方位发散，达到“举一反三”的效果，不仅能使我们掌握相应的几种解题技巧,还可以帮助我们全方位地观察问题,多角度多层次地深入理解数学知识,提高数学解题的能力,使我们的思维更灵活,解题思路更开阔,应变能力更强。本人就一道代

2、数综合中考题，结合我班学生实际，把充分利用所学知识，积极探索发现，综合运用数学思想方法，利用一题多解（证）培养学生的发散思维整理如下：（仅供参考）题目：(2013广西贺州)如图，直线与x、y轴分别交于点A、C，抛物线的图像经过A、C和B(1,0)。（1）、求抛物线的解析式。（2）、在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D点与直线AC的距离DE最大时。求出D点的坐标，并求出最大距离是多少？（1）分析：主要考查了一次函数、二次函数的图像和性质，利用直线与x、y轴的交点特征，求出A、C点的坐标，再根据抛物线经过A、C、B三点，利用待定系数法求出抛物线的解析式。

3、(学生独立完成，且效果较好。)设抛物线的解析式为，由其图像经过A(4，0)、B(1，0)、C(0，-2)得：（2）解法1：分析：引导学生把求DE的最大值与二次函数的最值联系起来，利用辅助线DF∥y轴，找相似三角形ΔAOC∽ΔDEF,根据对应边成比例表示出DE的长度，从而构建二次函数，利用求二次函数最值的方法，求出。解：过D点作DF∥y轴，交直线AC于点F。∵DF∥y轴∴∠DFE=∠ACO又∵∠AOC=∠DEF∴ΔAOC∽ΔDEF5由（1）得：A﹙4、0﹚，C﹙0、-2﹚，即AO=4，AC=。所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且

4、DE的最大值为。解法2：分析：通过作y轴的平行线DF，得到∠DFE=∠ACO，在不同的直角三角形中，根据相等的锐角三角函数相等，得到DE与DF的比值是一个定值，即：，从而将求DE的最大距离转化为求DF的最大值。又因为，构建关于x的二次函数即：，求出，进而得到。解：过D点作DF∥y轴，交直线AC于点F。∵DF//y轴∴∠OCA=∠EFD在直角△AOC和直角△DEF中由（1）得：A﹙4、0﹚，C﹙0、-2﹚，即AO=4，AC=。5即：当DF取最大值时，D点到AC的距离DE有最大值。所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且DE的最大值为

5、。解法3:分析：连接AD、CD构建直角三角形，因为由（1）的结论是一定值，又因为DE⊥AC，利用三角形的面积法，即把求DE的最大值问题转化为求面积的最大值。再在平面直角坐标系中表示出ΔADC的面积，从而得到二次函数，利用二次函数最值求出△ADC面积的最大值为4，进而由得到。解：连接AD，CD，设D（m，n）。∵A(4，0)C(0，-2)∴当△ADC的面积最大时，D点到AC的距离DE有最大值。5所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且DE的最大值为。解法4：分析：利用D点在AC上方的抛物线上，当DE取最大值时，过D点平行于AC的直线

6、与抛物线只有一个交点，故而平移直线AC，联立方程组，整理得到关于x的一元二次方程有两个相等的实数解，即Δ=0，进而得到直线AC向上平移了2个单位（DF=2）时，D点到AC的距离DE最大。又由ΔDEF∽ΔAOC得,即：，所以。解：由直线、抛物线只有一个交点得：∴即:D(2,1)过D点作DF//y轴交AC与点F，此时，直线在的基础上向上平移了2个单位，即DF=2∵DF//y轴∴∠DFE=∠ACO又∵∠AOC=∠DEF=90º∴△AOC∽△DEF5所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且DE的最大值为。总之，在我们的教学过程中，对于一道

7、试题，要深入去观察、分析、解决与反思，寻求知识的共同点，延伸点，将其综合运用，能促使学生思维向多层次、多方位发散，提高数学解题的能力,使我们的思维更灵活,解题思路更开阔,应变能力更强。也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。在今后的教学过程中我会继续努力深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，不断追求新知，完善自己。5