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1、第二讲整数的奇偶性某次数学竞赛，共40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错扣1分，证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数。设是这9个自然数排列，求证总是偶数解：因是这9个自然数排列，故假设，则每一个均为奇数，那么，这与上式子矛盾，故必为偶数，此题可推广。3.证明没有整数解4.你能找到三个整数a,b,c,使得关系式成立吗？如果能找到，试举一例，如果找不到，请说明理由对于“存在性”一类问题求解,一般思路:假设其存在,由此推理,求解,解决本题的关键是抓到奇数,偶数的基本性质.解：假设存在整数a,
2、b,c,使得3388是偶数，左边四个因子至少一个是偶数不妨设是偶数均为偶数，而3388不能被16整除得出矛盾故不存在三个整数a,b,c,满足关系式5.黑板上写有这1995个数，每次任意擦去其中两个数a，b并写上a-b，最后黑板上剩下的那一个数是奇数还是偶数，为什么?6.一些毕业生约定彼此通信，并且规定只要接到对方来信，一定回信。求证：他们中写奇数封信的人必为偶数个。证：无论这些毕业生人数是奇数或是偶数，由于接到来信必定回信，所以他们写信的总数N一定是偶然。假设写奇数封信的学生有奇数个则写奇数封信的学生所写信的总数
3、M1一定是奇数，其余学生写了偶数封信，他们写信的总数M2，一定是偶数。由于N=M1+M2上式左端是偶然而右端是奇数，这是不可能的，故写奇数封信的人必为偶数个。第三讲整数的整除性1.一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明 ∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2.∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8
4、4k（k+1），即8
5、（a2-1）.又
6、∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3
7、a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3 a，∴3
8、（a2-1）.3与8互质,∴24
9、(a2-1),即a2+23能被24整除.2.(美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.
10、3.N是由5个不同的非零数字组成的五位数，且N等于这5个数字中取3个不同数字构成的所有三位数的和，求出所有的这种五位数N。35964解：设,从数字5个数字中任取3个不同数字构成的所有三位数共有个，而每个数出现在各个位置的频率都是12，故这60个三位数的和为 由题意得 由 故又 所以只能为18，27。当时，但2+3+9+7+6≠18，不合题意；当时，符合题意。所以，所求的五位数为35964。第四讲同余1．求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.
11、2.不能被3整除证明由于因此不能被3整除.3．第五讲不定方程 1．求下列不定方程的整数解： (1)72x+157y=1；(2)9x+21y=144； (3)5x+8y+19z=50；2.某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142.① 所以 由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为 所以，共有4种不同
12、的支付方式．3.一百马，一百瓦，大马驮3，中马驮辆，两个小马驮一片瓦，最后不剩马和瓦问有多少大马，中马，小马解：设大马、中马、小马的匹数为x，y，z匹解-------------4.求且使y最大的正整数解只有12-x为正数且最小时，y才能取最大又12-x为144的约数，12-x=1，x=11,y=132第六讲面积问题和方法1.根据图中数据，求各图形中阴影部分的面积PI-250(PI-2)25(PI-2)2.如图，正方形ABCD边长是3，F在AD上，DF=1，E是AB的中点，求阴影部分的面积提示：,注意过E作BC的
13、平行线交BF于G3．如图，D是三角形ABC中BC边上一点，E是AD一点求证：4．已知从三角形ABC各顶点作平行线分别与对边或延长线交于DEF求证：证明：第七讲容斥原理1.纸片面积为7，一张边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8，问两张纸片重合部分的面积是多少？2.不超过110且与110互质的自然数有几个？,3.求在1至1000的自然数中，不能被5或7整
