微分几何期末复习题.doc

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1、微分几何复习题一、填空题1.向量具有固定方向，则=。2.非零向量满足的充要条件是。3.若向量函数满足，则具有固定。4.曲线的正常点是指满足的点.5.曲线在任意点的切向量为。6.曲线在点的切向量为。7.曲线在点的切向量为。8.设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面是曲线在P点的。9.若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是。10.曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是。11.一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率。12.曲线在t=1点处有，则曲线在t=1对应的点处其挠率=。13.曲线x=cost，y=sint,z=t在t=0处的切

2、线方程是。14.曲线的主法向量的正向总是指向。15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。16.曲线={t3-t2-t,t2-2t+2,2}上的点不是正常点的是t=。17.曲线的曲率是。18.曲线的挠率是。19.一般螺线的曲率和挠率的关系是。20.曲率为0的曲线是,挠率为0的曲线是。21.设有曲线，当时的切线方程为。22.设有曲线，当时的切线方程为。23.曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的的不变量。24.在旋转曲面中，是旋转曲面的经线。25.若点(u0,v0)为曲面的正则点，则在(u0,v0)满足。26.曲面在点的法线方程是。27.直纹面的参

3、数表示总可以写成。28.如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为。29.曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线的坐标网是。31.已知曲面的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直的充要条件是。32.对曲面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t(t>)的弧长s=。33.若曲面在(0，1)点处的第二基本形式，则在(0，1)点处，。其中为曲面的单位法向量。34.已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是。35.若曲面的第一基本形式为，曲面在一点的切向与u-线的夹角为,则曲面在这点沿切方向的测地曲率=。36.

4、挠率的曲线其副法向量是常向量。37.曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切平面方程是。38.曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是39.曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为。40.半径为R的球面的高斯曲率K=。41.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的恒等于零。42．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和。43．球面上，线是球面上的纬圆。44．在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系。45．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是。38．曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是。46．极小曲面是指的曲面。47．曲面上一点的主曲率是曲面在

5、这点所有方向的的最大值和最小值.48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.51．距离单位球面球心距离为d(0

6、曲线，的交角的余弦值是。57．正螺面的第一基本形式是。58．双曲抛物面的第一基本形式是。59．正螺面的平均曲率。60．函数是主曲率的充要条件是。61．方向是主方向的充要条件是。62．根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。63．旋转曲面中的极小曲面必是平面或。64．空间曲面的基本公式中的Gauss公式是,Weingarten公式是。65．设曲面S上的曲线C在P点的曲率为k,测地曲率为kg,法曲率为kn,则它们之间手关系是。66．设曲面S上的曲线C在P点的曲率为k,测地曲率为kg,切方向上的法曲率为kn,则它们之间手关系是。67

7、．如果曲面S上的存在直线,则此直线的测地曲率为。68．测地线的方程为。69．简单光滑闭曲线的Gauss-Bonnet公式是。70．逐段光滑简单闭曲线的Gauss-Bonnet公式是。二、单项选择题1.下面各量中,不是内蕴量的是()A.曲面上曲线的曲率；B.曲面上曲线的测地曲率；C.曲面上测地三角形的内角和；D.曲面的高斯曲率。2.圆柱螺线在点的切线为()A．；B.；C.；D.。3.圆柱螺线的切线与轴()Ａ.平行；　　　　　　　Ｂ.垂直；Ｃ.有固定夹角；　　　Ｄ.有固定夹角。4.设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量．下列叙述错误的是()Ａ.为单位向量；　

8、　　Ｂ.；Ｃ.；　　　　　Ｄ.。5.直线的曲率k为(