离中趋势测量法.doc

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1、第五章离中趋势测量法平均指标对总体的共性和一般水平作了概括，以此來说明总体标志值分布的集中趋势。但是总体作为统计对象，还冇其变异性的一面。变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范I韦I或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。变异指标不仅可以综合地显示变最值的离屮趋势，还可以用来判别平均数的代表性。所谓离屮趋势，是指数列屮各变量值之间的差距和离散程度。离势小，平均数的代表性高；离势人，平均数代表性低。变异指标的种类较多，如按计算的基准來分有以下两类：(1)以两数Z差來表达的冇全距和四分位差等。(2)以对平均数偏差來表达的有平均差、标准差等。变界指标如按数量关系来

2、分有以下两类；(1)凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势，主要冇极差、平均差、四分位差、标准滥等。(2)凡用相对数来表达的变异指标，统称和对离势，主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和-些常用的偏态系数。第一节全距与四分位差1.全距全矩是蝕大变量值与最小变量值Z差，用R来表示。对未分组资料，计算全距用原始式。由于全距是一组数据中两个极端值之差，所以它又称极差。全距的最人优点是：计算简单，便于宜观。缺点是；①受极端值影响人，遇含开口组的资料时将无法计算；②山于没有量度中间各个单位间的差界性，所以数据利用率很低，信息丧失严重；③受抽样变动彩响很人。一般说来，大样木全距要比小样木

3、全距大些，因为人样本有较多的机会包含最极端的变量值。2.四分位差四分位是用第三四分位数和第一四分位数的半距作为测定离屮趋势的一•种变异指标，它可以避免全距测量离中趋势受极端值影响大这个缺点。但山于它仅以两数之差为基准，全距的另两个缺点依然无法避免。第二节平均差要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相対于平均数的差界情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数的离差。但由于算术平均数的性质，各变量值与其算术平均数离差的代数和恒为零，所以用这个性质无法构造出能够测定离中趋势的变界指标。为此，我们采取处理离差绝对值的办法，如此构造出来的变显指标，称为平均差1.对于未分组资料

4、A的计算平均差被定义为各变量值对其算术平均数(或中位数)离差绝对值的算术平均数，用A-D表示。对于未分组资料，求平均差用原始式。2.对于分组资料A的计算对于分组资料，计算平均差需用加权式。1.平均差的性质平均差以及接下来要讨论的标准差，虽都是变异指标，但就其计算的数学方法来看，仍加于算术平均数。所以，平均差在受抽样变动影响、受极端值影响和处理不确定组距这三方面，它的性质均同于算术平均数。与此同时，平均差由于计算时采用了取绝对值來消除正负号的影响的方法，它不便于代数运算，而且平均差的意义在理论上也不容易作出阐述。所以,平均差作为变异指标，其运用比下面的标准差要少得多。另外，根据小位

5、数的性质可知，各变最值对中位数之差的绝对值总和为最小。因而，有时以中位数为基准来计算平均差反倒比以算术平均数为基准来计算平均差更合理。第三节标准差为了克服平均弟带有绝对值计算的缺点，同时保留平均差的优点（即它己将总体屮各个单位标志值的差界全部包括在内），故将各离差平方后求算术平均，再求平方根，來构造变异指标，这样就得到一个常用的而且也是最重要的变异指标——标准差，用S表示。1.对于未分组资科S的计算标准差被定义为各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，乂称均方差。对于未分组资料，求标准差用原始式。2.对于分组资料S的计算对分组资料，计算标准差要用加权式。3.标准差的

6、性质标准差是测定总体各单位标志值的离散状况和差异程度的最佳指标，这是因为它在数学上便于代数运算，并且具有许多特育的性质：（1）以算术平均数为基准计算的标准差，较z以任何其他数值为棊准计算的标准差要小,这是因为算术平均数的“最小平方”性质。（2）标准差同平均差一样，虽都是变异指标，但就其计算的数学方法来看，仍属于算术平均数。因为它已将总体屮各单位标志值的羌异全部包括在内了，所以它受抽样变动的影响小。但是，标准差在受极端值影响和处理不确定组距这两方而，缺点均与算术平均数相同。值得注意的是，在推论统计小我们将发现，方差是比标准差更有理论价值的概念。所谓方差，即标准差的平方，它直接写成炉

7、。4.标准分运用标准差.还可将原来不能总接比较的离差标准化，使之可以相加、相减、平均或者相互比较。为此我们引入一个新1'包学最，用符号Z表示。由公式可以看到，Z分数是以离差与标准差的比值来测定变量X与尢的相对位置的。第四节相对离势上述各种反映离中趋势的变界指标，都具有和原资料相同的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不同单位的资料的参差程度，或比较单位虽相同而均值不相同的资料的参差程度，离势的绝对•指标则很可能导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相対离势。1.变异系数用离势的