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1、第一章数列极限第二节数列的极限一、极限的描述性定义二、“函数值能变得‘无限趋近常数A’”的描述三、数列极限的定义四、数列极限的性质正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、概念的引入1、割圆术：二、数列极限的描述性定义例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”放大《庄子·天下篇》这12个字实际上给出了一个数列,第一项是1（一尺之棰）,从第二项开始每一项都是前一项的一半（日取其半）.数列的项越来越小，它将无限地接近于零，但永远不会等于零（万世不竭）。将这个数列写出来就是例2数列可以看到随着n的增大该数列无限接近于1。数列的一
2、般项表达式为例1当n无限增大时，总结一下它们有何共同点？它们的共同点是:在自变量n无限增大的过程中，对应的函数值都无限接近于一个常数A.总之，我们看到无限接近于0；例2当n无限增大时，无限接近于1；如果数列在自变量n无限增大的过程中，对应的数列的值an无限趋近于常数A，就称该数列在自变量n无限增大时以A为极限.例1当n无限增大时，的极限是0；例2当n无限增大时，的极限是1；按照这种说法数列极限刻画的是数列值随自变量n变化的最终结果还是变化的最终趋势？这种叙述显然是不严格的，仅仅是朴素的语言描述.比如“无限趋近”是很模糊
3、的.——极限的描述性定义下面给出极限的严谨定义，关键是如何用数学语言刻画自变量（按照一定的方式）无限变化的过程中,对应的函数值“无限趋近于”一个常数.如果数列在自变量n无限增大的过程中，对应的数列的值an无限趋近于常数A，就称该数列在自变量n无限增大时以A为极限.三、“数列值an能变得‘无限趋近常数A’”的描述用
4、an-A
5、小于0.1可以吗？小于0.01，0.001，0.000001等具体的数可以吗？不可以，这样体现不出“要多小就能有多小”，因为能小于一个具体的数(比如0.000001),却不能说它还能小于更小的数(比
6、如0.00000001).该如何刻画呢？可以用
7、an-A
8、的大小来刻画an与A的接近程度，所谓an能变得无限接近于A，可以用
9、an-A
10、能变得无限趋于零，或说能变得任意小、要多小就能有多小来描述。只有说明
11、an-A
12、可以小于任意给定的正数，才能说明这个距离能变得要多小有多小.为此用表示任意给定的正数，
13、an-A
14、<任意给定的小正数这样显然不是数学语言.这样，就解决了刻画“数列值an能变得‘无限趋近于常数A’”的问题。需要注意的是，对任意给定的小正数，并不是对自变量的任意取值n都能使得成立，上式就可以表示为：
15、an-A
16、
17、<例如：成立.对数列及并不是所有的n都能使而只有当n增大到一定“程度”，比如n=9，从此之后(n>9)的各项才能使成立.“某一程度之后”该如何描述呢？而是在自变量变化的过程中，当变化到某一“程度”，从此之后所对应的数列值an才能使这个不等式成立.同样对于任意的数列an也不是对自变量n的所有取值都能使成立，对于数列来说，“某一程度之后”该如何描述呢？从数列无限趋于0谈起.三、数列极限的定义由于，需要说明：对任意给定的，在n无限增大的过程中，当n变化到某一“程度”之后，有恒成立.在n无限增大的过程中，用n>N表示n变化到这
18、个程度之后.存在“某一程度”，用来表示(这是因为n始终取正整数)，下面我们来看，对于给定的，如何寻找这个“程度”N.我们先从的具体取值来看：对，可得到从第10项以后的所有项与0的距离都小于0.1；事实上，对于给定的要使只需于是，取“程度”N=10，用n>N表示”从此之后”.恒成立.即存在N=10，当n>N=10时，显然从第15项起也小于0.1。这个N唯一吗？再如对于给定的要使只需于是，取“程度”N=100.成立.即存在N=100，使得当n>N=100时，对，可得到从第100项以后的所有项与0的距离都小于0.01；显然从
19、第110项开始也小于0.01.任意给定正数，能够找到一个正整数N,当n>N时恒成立.从图中我们可以直观看到事实上，对于任意给定的要使只需成立.即存在使得当n>N时，于是，取“程度”这里不取整行吗？对任意给定正数请根据这个例子类似地讨论一下数列以1为极限.更一般地可以得到极限的定义数列以0为极限任给,总存在正整数N,当n>N时,恒成立.总存在正整数N,对数列,若存在常数a，当n>N时，恒成立,对任意给定的则称以a为极限，记作或总之总存在正整数N,对数列,若存在常数a，当n>N时，恒成立,对任意给定的则称以a为极限，记作或
20、定义（数列极限的定义）存在任意给定请注意这里的N是不唯一的.N观察下图，怎么理解数列极限的几何意义？任意给定都存在一个N，当n>N时，对应的点都落在以直线为中心,宽为的带形区域里.当n>N时恒若不存在这样的a,则称数列极限不存在,或数列发散.上面的极限定义中，哪几个词是最关键的？如何理解这个“恒”字呢？例5证明数列以1为极限(例2
