《同济版高数下》PPT课件

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1、习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第十一章（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步一、主要内容曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算(与方向有关)与路径无关的四个等价命题条件等价命题曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计算(与侧无关)(与侧有关)2021/8/307定积分曲线积分重积分曲面积分（二）各种

2、积分之间的联系2021/8/308积分概念的联系发现：①被积函数是数量值函数，积分元素是具可加性的量；定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共同点：②定义均为由分割、近似、求和、取极限4步骤得到的和式极限；③主要性质：线性性质、区域可加性、保不等式性、积分中值定理以及对称性奇偶性；2021/8/309定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共同点：④物理意义（除定积分外）：质量、质心、转动惯量、引力；思考：记忆具有这么多共同特点的数量值函数积分有没有简单方法？

3、2021/8/3010定义数量值函数的积分定积分二重积分2021/8/3011曲面积分空间曲线积分三重积分平面曲线积分2021/8/30数量值函数积分的应用质量质心2021/8/3013数量值函数积分的应用转动惯量计算上的联系其中积分理论上的联系1.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式3.三重积分与曲面积分的联系高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式2021/8/3018定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Guass

4、公式各种积分之间的联系梯度通量旋度环流量散度场论初步(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.曲线积分的基本技巧二、典型例题例.例.计算其中为曲线2021/8/3023思路:闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式2021/8/3024例例.设在上半平面内函数具有连续偏导数,且对任意t>0都有证明对D内任意分段光滑的闭曲线L,都有已知平面区域L为D的边界,试证例例.设L是平面与柱

5、面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算公式例.曲面积分的计算法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(2)选择积分变量—代入曲面方程(3)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(1)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化2021/8/3032例计算曲面积分中是球面2021/8/3034例2021/8/3035例例单位外法向

6、向量,试证设为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为的例设是曲面取上侧,计算