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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。导数
2、和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点导数的实质，用定义求导，链式法则问题的提出导数的定义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系利用导数定义求导数小结第一节导数的概念左、右导数一、引出导数概念的两个实例设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极
3、限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.其它形式若上述极限不存在,在点不可导.就说函数★★关于导数的说明：注意
4、:★★函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的函数。★导数定义式中的△x必修连续地趋于零。三、由定义求导数步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解四、左、右导数2.右导数:单侧导数1.左导数:★★★左右导数统称为单侧导数★例6解五、导数的几何意义与物理意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为2.物
5、理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线六、可导与连续的关系证定理若y=f(x)在点可导，则y=f(x)在处一定连续.在点处右导数存在定理2.函数在点必右连续.(左)(左)由定理1和定理2,可得:在闭区间[a,b]上可导注意
6、:可导的条件要比连续强,存在处处连续但是处处不可导的函数.★连续函数不存在导数举例0例如,反例:在x=0处连续,但不可导.例如,01例如,011/π－1/π七、小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则
7、故在可导,且5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.作业P861,5,6,11,16,18牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,
8、有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.练习题答案
