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《数论初步—数的整除性.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、数论初步(一)整数的整除性定义：设a，b为二整数，且b≠０，如果有一整数c，使a＝bc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b
2、a.显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０.性质：设a，b，c均为非零整数，则①．若c
3、b，b
4、a，则c
5、a.②．若b
6、a，则bc
7、ac③．若c
8、a，c
9、b，则对任意整数m、n，有c
10、ma＋nb④．若b
11、ac，且(a，b)＝1，则b
12、c证明：因为(a，b)＝1则存在两个整数s，t，使得as＋bt＝1∴asc＋btc＝c∵b
13、acÞb
14、asc∴b
15、(asc＋btc)Þb
16、c⑤．若(
17、a，b)＝1，且a
18、c，b
19、c，则ab
20、c证明：a
21、c，则c＝as(s∈Z)又b
22、c，则c＝bt(t∈Z)又(a，b)＝1∴s＝bt'(t'∈Z)于是c＝abt'即ab
23、c⑥．若b
24、ac，而b为质数，则b
25、a，或b
26、c⑦．(a－b)
27、(an－bn)(n∈N)，(a＋b)
28、(an＋bn)(n为奇数)整除的判别法：设整数N＝①.2
29、a12
30、N， 5
31、a15
32、N②.3
33、a1＋a2＋…＋an3
34、N 9
35、a1＋a2＋…＋an9
36、N③.4
37、 4
38、N 25
39、 25
40、N④.8
41、8
42、N 125
43、125
44、N⑤．7
45、
46、－
47、7
48、N⑥．11
49、
50、
51、－
52、11
53、N⑦．11
54、[(a2n＋1＋a2n－1＋…＋a1)－(a2n＋a2n－2＋…＋a2)]11
55、N⑧．13
56、
57、－
58、13
59、N推论：三个连续的整数的积能被６整除.例题：1.设一个五位数，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除.解：11
60、∴11
61、a＋c＋d－b－a即11
62、c＋3∴c＝81≤a≤9，且a∈Z2.设72
63、，试求a，b的值.解：72＝8×9，且(8，9)＝1∴8
64、，且9
65、∴8
66、Þb＝6且9
67、a＋6＋7＋3＋6即9
68、22＋a∴a＝53.设n为自然数，A＝3237n－632n－855n＋235n，求
69、证:1985
70、A.证明：∵1985＝397×5A＝(3237n－632n)－(855n－235n)＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z)＝5×521×u－5×124×v∴5
71、A又A＝(3237n－855n)－(623n－235n)＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)＝397×6×s－397×t∴397｜A又∵(397,5)＝1∴397×5｜A即1985｜A4.证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立.证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝19
72、95成立。∵x2，y2被４除余数为０或１.∴x2＋y2被４除余数为０，１或２.又∵1995被４除余数为３.∴得出矛盾，假设不成立.故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立.费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1则p
73、mp－1－15.试证：999…9能被13整除.12个证明：∵10－1＝9,100－1＝99,…‚1012－1＝999…9. 12个又（10,13）=1∴13｜(1013－1－1),即13｜(1012－1)∴13｜999…9. 12个6.请确定最小的正整数A，其末位数是6，
74、若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.解：设该数为A＝，其中a1＝6令x＝则A＝＝x·10＋6于是4A＝＝6×10n－1＋x即有4×10x＋24＝6×10n－1＋xx＝∵(2，13)＝1，x是整数∴13
75、(10n－1－4)n＝1，2时，10n－1－4＜10显然不满足条件n＝3时，10n－1－4＝96不满足条件n＝4时，10n－1－4＝996不满足条件n＝5时，10n－1－4＝9996不满足条件n＝6时，10n－1－4＝99996满足条件∴x＝＝15384即A＝1538467.一个正整数，如果用７进制表示为
76、，如果用５进制表示为，请用10进制表示这个数.解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则n＝＝a×72＋b×7＋c,n==c×52＋b×5＋a∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a48a＋2b－24c＝0b＝12(c－2a)∴12｜b,又∵0≤b≤4 ∴b＝0,∴c＝2a∴当a＝1,c＝2时，n＝51当a＝2,c＝4时，n＝102练习：1.证明：设N＝19881988－19861986，则1987∣N2.设n是自然数，求证n5－n可被30整除.3.请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位
77、，其余数字不变，则是原数的2倍.4.一个正整数，若用9进制表示为，若用7进制表示为，请用10进制表示此数.5.五位数能被4整除，最末两位组成的数能被6整除，求此五位数.
