高等数学,同济大学第六版,2_5.ppt

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1、一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的增大了多少?§5.函数的微分再例如,★几乎反映△y随△x变化的全过程★既容易计算又具有较高的精度二、微分的定义定义(微分的实质)注：由定义知:即用微分近似增量.微分可微:三、可微的条件,即可微性与可导性的关系定理证(1)必要性问题:函数满足什么条件才可微?如何求微分?(2)充分性例1解xyoMNf(x)dyx微分近似增量是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？=tanx四、微分的几何意义即：y切线纵坐标的增量.xyodyx用切线增量近似曲线增量dyy微

2、分的几何意义dy>y哪条线段是dy？.问题：何时dy>y?五、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例2解解法1解法2结论：这一性质叫做“一阶微分形式的不变性”3.复合函数的微分法则(一阶微分形式的不变性)例3解基于一阶微分形式不变性，求微分时无须指明对哪一变量进行,Esp对复合函数只需一次一次地求，直至不能求(自变量)为止.导数不具有此性质，求导时总要指明对哪一变量进行的！例4解在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立.六、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的

3、近似值例1解2.计算函数的近似值例2解常用近似公式证明例3解3.误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?办法:将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.例4解小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联

4、系:★★导数与微分的区别:★导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。微分指明,当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。近似计算的基本公式思考题思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.练习题练习题答案练习题练习题答案总习题二(P124)1;2;5(2);12;13.习题2-5(P122）3(5)(7)(9);4(6)(8);5;6.