《高数泰勒公式》PPT课件.ppt

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1、主讲教师:王升瑞高等数学第十七讲1二、几个初等函数的麦克劳林公式第八节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式第二章2特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式若是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式来近似表示3由误差即为一次多项式＋的高阶无穷小试问是否成立？即是否求出特例：4即为抛物线与更为接近问类似方法可得右边的多项式在0的附近可以无限的接近于如何用高次多项式来近似表示已给函数，并给出误差公式呢?51.求n次近似多项

2、式要求:故令则62.余项估计令(称为余项),则有78公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当9公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立10特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差11称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式12二、几个初等函数的麦克劳林公式其中13其中14422464202

3、46泰勒多项式逼近1542246420246泰勒多项式逼近16五、小结17五、小结18五、小结19五、小结2021222324252627282930313233343536类似可得其中37其中38已知其中类似可得391.利用泰勒公式求极限例1计算解:原式三、泰勒公式的应用40例2求解：用函数的麦克劳林展开式求此极限41解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,例3.求42例4设求解432.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:44例5设当，有证明在时，至少有一个实根。在处展开成一阶泰勒公式因此，根据连续函数零点而此使得的一个实根。证明将定理可知

4、，至少存在一点为2.利用泰勒公式证明方程根的存在性45内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.462.常用函数的麦克劳林公式(P139~P140)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,47作业P1411（2）;3；4;5;6；748泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.49麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著

5、作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.504、设，且，证明证明由已知极限式得利用泰勒公式有从而516.设函数在上三阶可导,且设使证:因因因此试证存在利用二阶泰勒公式,得527.设函数在上二阶可导,且证明方程内有且仅有一根.证:在在上由泰勒公式可知因所以又因利用的单调性及连续函数零点定理,可知在内有且仅有一根.53