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1、关于函数的若干性质的探讨険：王矽指WP:数学WW召了碱的逝碉耘中存在一鹹砾^本刘树这些不;以补尢对葩攵的连续性、可微准、可积渤0以详细说明。并以实例辅助理解、才顼可微可积AbstraCt：Themathematicalanalysisintroducesfunctionthenature,butthereexistsomegapsandtextbookdeficiencies.Thispaperwi11betotheseshortcomingsoffunctiontobesupplemented,conti
2、nuityanddifferentiablesex,integrabi1ityandexplaineddetailedljByexamplesauxi1iaryunderstandingKeywords：Functionpropertiescontinuousdifferentiableintegrable引言：函数,作为数学学科中的重、难点，一直都是研究＜的宠^本遜具依州挞了函数^性质。在中学阶段＞我fl•蹴学习了函数的单调性、周期I•坏奇偶It少坟中，对这三种性质只作一个简单介绍。列为第T阶，而在第二
3、三、辱阶将重点介绍函数^徒续4生、可微性和可积生分楼函数的连续瀏寸，我分为一元函数和二匕连续和一致臺卖来州仑。讨论可微、可积时^是分为一农二^节。在介绍时，先m它们的定义，然啓册淇辩f和证明方法，每种方法下面歹惮例黝喊•说朋。最后，在第五石阶将总结出连续、可微、可积三者之间的内在联系，每个■联系鄒己予例働喊说明，使读者一目了然，符雅最短的时间内对函数的性质有更进不一^的了解。第一制雷性、在木部分中，我们将介绍单调函数、奇偶函数和周期函数的定义以及它们的判别方法。一、单调性定义山：设/为定义在Z)上的函数，若
4、对任何码，x2eD,当X,/(%2),则称/为D上的减函数，特别当成立严格不等式/(X,)>/(x2)时，称/为D上的严格减函数。增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。判别方法：1.直接根据定义。1.导数法:若/(兀)在定义域上可导，当f'(x)no时，/(x)为增函数；f'(x)<0时・，/(X)为减函数。二、奇偶性定义同
5、：设D为对称于原点的数集，/为定义在D上的函数。若对每一个xeD有则称/'为D上的奇(偶)函数。从函数上看，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。则对于奇偶性的判别可根据定义頁接在函数图像上进行观察判断。特别注意的是，在判别Z前必须确定函数的定义域是否关于原点对称。三、周期性定义⑴：设/为定义在数集D上的函数。若存在〃〉0,使得对一切xeD有/（a）,则称/为周期函数，5称为/的一个周期。显然，若/为的周期，则兀/5为正整数）也是.f的周期。若在周期函数/的所有周期屮有一个最小的周期，则称此最
6、小周期为/的基木周期，或简称周期。同样的，周期性的判别也可以根据定义肓接进行判别。特别的，常量函数/（x）=c是以任何正数为周期的周期函数，但不存在函数的基木周期。第二部分：函数的连续性木部分我们主要讨论连续性的定义及其证明；一致连续性的定义及其证明；连续和一致连续的关系；全变量连续和单变量连续的关系等一元函数的连续定义⑷：设函数/在某U（儿）内有定义。若limXT*。f(x)=/(x0)则称/在点X。连续。一元函数的连续性的证明：1.直接利用定义，证明：V6*>0,3<7>0,当x-xQ时，有
7、/(x)-
8、/(x0)
9、<8x例2.1证明Riemann函数/、丄，当x=£为既越分数，q〉on寸R（x）=0,则7?（勺）=丄>0。qq由无理点的稠密性，m无理点列｛占｝—^（当n-»oo时），但
10、/?(xJ-7?(xo)
11、=O-丄二丄〉0(%wN),qq即/?(£)影农(兀0)。故/?(兀)在有理点不连续。再证在无理点上连续，设x()g［0,1］为无理点，贝Ij/?uo)=0o首先，我
12、们从/?(x)的定义可以看岀，V^>0,R(x)>£的点兀，在［0,1］上最多只有有限个(事实上，要/?(x)>^>0,X必须是有理点，若兀=£,7?(^)=->^,则OSpvqW丄。可见满足qqq&此不等式的有理数上最多只有有限个)。如此，可取/>0充分小，使得do-/*()+/)不含有qR(x)>6*Z点，此即Vxg(x0-J,x0+J),w
13、/?(X)-/?(XO)
14、=R(x)<£.这就证明了R(x)在［0
