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1、湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）关于伴随矩阵性质的若干探讨XXXXX（湖北师范学院数学系数学与应用数学0702班湖北黄石）0前言：伴随矩阵是高等代数中的一个重要内容，在矩阵的计算和讨论中，常常会遇到伴随矩阵.但很多时候伴随矩阵只是作为计算的工具，伴随矩阵的性质很少被提到.在前人研究的基础上，总结了伴随矩阵的一些性质并讨论其证明过程，并把一些性质推广到了分块矩阵的伴随矩阵的上去，得到了一些相似的结果.1伴随矩阵的定义定义1设矩阵，将矩阵的元素所在的第行第列元素划去后，剩余的个元素按原来
2、的排列顺序组成的阶矩阵所确定的行列称式为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式，记为，即.定义2方阵的各元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵的伴随矩阵.2伴随矩阵的基本性质性质2.1设矩阵的伴随矩阵为，则，且当26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）时，有或.证明设,则.于是.类似地，.所以.当时，可逆，由得,即.所以.注该性质给出了矩阵与其伴随矩阵之间的关系，同时给出了逆矩阵或伴随矩阵的一种求法.26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）性质2.2证明（1）当时，这时，
3、从而等式成立.（2）当时，由得,所以.注该性质给出了矩阵与其伴随矩阵的行列式之间的关系.性质2.3若是阶方阵,那么证明(1)当时，，由得,所以.(2)时，，由得.所以对列向量都是方程组的解.由于，所以齐次线性方程组的解向量组的秩为,故的列向量组的秩小于或等于1，即.又，所以至少有一个阶段非零子式，即，所以,故26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）.(3）当时，矩阵没有不为零的阶子式，故的每个元素都是零，即.所以.注该性质给出了矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系.3伴随矩阵的运算性质3.1乘
4、积矩阵的伴随矩阵的运算性质性质3.1.1若矩阵为阶可逆矩阵，为常数，则.证明由及可得.注该性质给出了数乘可逆矩阵的伴随矩阵的运算.性质3.1.2设、为阶方阵，则.证明（1）当时，由可得.（2)当时，令，只要充分大，都可逆，所以.上式两端矩阵中的元素都是关于26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素都是相等的多项式，即上式对任意的都成立，特别的取，即得.推论3.1.1设均为阶方阵，则.注方阵乘积的伴随矩阵等于每个方阵伴随矩阵的乘积，但顺序恰好交换过
5、来.3.2分块矩阵的伴随矩阵的运算性质性质3.2.1设、为阶可逆矩阵，则有.证明因为,所以可逆，且,又有,由可得=26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）=.注性质3.2.1的结果与推论3.1.1的结果具有类似的形式，即与分别取伴随矩阵，但位置交换，且伴随矩阵前多了一个系数.上述结果可进一步推广到次对角线上有多个子块的情形，如,其中、、是阶可逆矩阵.例1设均为3阶可逆矩阵，且求.解由可得26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）.3.2转置矩阵的伴随矩阵的运算性质性质3.2.1
6、若为阶方阵，则.证明因，而则,故.注该性质说明求伴随矩阵与求逆可交换顺序.推论3.2.1设、为阶方阵，则.证明由可得.该结果可以推广到多个方阵乘积的情形，如.推论3.2.2设、为阶可逆方阵，则26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）.证明因、均为阶可逆方阵，所以可逆，且有.由可得.所以.上述结论可进一步推广到主对角线上有多个子块的情形，如.推论3.2.3设、为阶可逆方阵，则.26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）此结论可进一步推广到次对角线有多个主块的情形，如.例2设均为3
7、阶可逆矩阵，且求.解由,可得26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）.3.3矩阵逆的伴随矩阵的运算性质性质3.3.1设是阶可逆矩阵，则.证明由得又,所以.注该性质说明求逆与求伴随矩阵两种运算可交换顺序.推论3.3.1设为阶可逆矩阵，则有.26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）证明由可得上述结果也可以进一步推广到主对角线上有多个子块的分块对角矩阵上来，如,其中均为阶可逆矩阵.例3设，求.解因为，.所以均可逆，由推论3.3.1可得，26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（
8、设计）.推论3.3.2设为阶可逆矩阵，则有.上述结果也可以进一步推广到次对角线上有多个子块的分块对角矩阵上来，如,其中均为阶可逆矩阵.性质3.3.2设是阶可逆矩阵，则26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）.证明由性质3.2.1可得.由性质3.3.1可得.又因为.所以.从而.即.又,所以.例4设，是的伴随矩阵，求.26湖北师范学院2011届数学系学士学位论文（设计）解因=，所以可逆，由性质3.3.3可得.推论3.3.3设为阶可逆矩阵，则有.证明因为为阶可逆
