高考数学选修基础_知识讲解_空间向量的数量积(理）.doc

《高考数学选修基础_知识讲解_空间向量的数量积(理）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、空间向量的数量积编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。2.能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。3.能用向量的数量积判断向量的垂直．【要点梳理】要点一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则

2、a

3、·

4、b

5、cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=

6、a

7、·

8、b

9、cos〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，

10、其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则①；②；③或；④；⑤3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（a）·b=（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．要点诠释：（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，若不能得出，即向量不能约分．（2）若a·b

11、=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，有，向量的数量积不满足结合律．要点二、空间两个向量的夹角．1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：a·b=

12、a

13、·

14、b

15、·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。要点诠释：1.规定：2.特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所

16、成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三、空间向量的长度。1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=

17、a

18、·

19、a

20、cos0°=

21、a

22、2，所以向量a的模：。将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用

23、a

24、2=a2来求解。要点四、空间向量的垂直。若

25、，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．根据数量积的定义：⊥⇔·＝0要点诠释：⊥⇔·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．【典型例题】类型一：空间向量的数量积例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求：（1）；（2）．【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，∴（1）；（（2）=＝0--8+18=【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。举一反三：【变式1】已知向量和的夹角为120°，且

26、

27、=2，

28、

29、

30、=5，则（2－）·=_____.【答案】（2－）·=22－·=2

31、

32、2－

33、

34、·

35、

36、·cos120°=2·4－2·5（－）=13。【变式2】(2014秋烟台期末)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，，故排除A。故B满足条件。，故排除C。，故排除D。故选B。例2、如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组

37、恰当的基底。【解析】在空间四边形ABCD中，（1）∵，，∴．（2）∵，，，∴．（3）∵，，又，∴．∴．（4）∵，，，∴，∴．【总结升华】求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a·b=

38、a

39、

40、b

41、cos〈a，b〉即可顺利计算．举一反三：【高清课堂：空间向量的数量积399424例题1】【变式1】已知在长方体ABCD—AB1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：（1）；（2）．【答案】(1)(2)【变式2】（2015南充三模）已知正方体ABC

42、D—A1B1C1D1，下列命题：①，②③向量与向量的