矩阵理论复习总结.ppt

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1、第一章线性空间与内积空间一、线性空间的基本概念1.线性空间:P是一个数域，V是一个非空集合.3.线性空间的基与维数.4.基变换公式.2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.6.维数公式.7.线性空间的同构.数域P上的任意两个n维线性空间是同构的.1.内积空间二、内积空间的基本概念2.设V是n维空间，是V的一组基，求与等价的正交单位向量组.3.正交补空间4.内积空间的同构.所有n维内积空间是同构的.5.酉空间1.已给不相容线性方程组求此方程组的最小二乘解三、最小二乘法是最小二乘解满足的代数方程.第二章线性变换1.线性变换2.设T是n维

2、线性空间的线性变换3.线性变换的矩阵表示4.与同构5.线性变换在不同基下的矩阵是相似的6.不变子空间正交变换在V的任意一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵8.酉变换9.对称变换内积空间的线性变换是对称变换的充要条件是它在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵.7.正交变换10.Hermite变换酉空间的线性变换是Hermite变换的充要条件是它在标准正交基下的矩阵为Hermite矩阵.第三章矩阵的标准形T是n维线性空间的线性变换，T的属于特征值的特征向量.2.设T是n维线性空间的线性变换,如何求T的特征值及与之相应的特征向量一、矩阵的标准形3.设T是n维线性空间V的线性变换,如何

3、判断V中是否存在一组基，使得T在该基下的矩阵是对角阵4.设A的行列式因子5.设A的不变因子6.设A的初等因子.7.求矩阵A的Jordan标准形及相似变换矩阵P.8.哈密顿-凯莱定理.9.设求A的最小多项式.若A的特征值互不相同，则最小多项式与特征多项式相同.10.多项式矩阵的斯密斯标准形.11.厄米特二次型.二、矩阵的分解2.可逆矩阵的QR分解.3.单纯矩阵的谱分解.1.n阶方阵的三角分解.第四章矩阵分析一、向量范数1.几种常用的向量范数2.有限维线性空间的向量范数是相互等价的.二、矩阵范数1.几种常用的矩阵范数三、向量与矩阵的极限1.矩阵的序列收敛于的充要条件是.四

4、、函数矩阵的极限、微分、积分五、函数矩阵对矩阵的微分矩阵对矩阵的导数六、矩阵级数1.方阵级数收敛的充要条件是对任一方阵范数，正项级数收敛.七、矩阵幂级数1.设复变数幂级数的收敛半径为.的谱半径为(1).若则绝对收敛；(2).若则发散.八、矩阵函数1.矩阵函数定义一.2.矩阵函数定义二.九、矩阵函数在微分方程中的应用第五章矩阵特征值的估计一、特征值界的估计1.设A的特征值为则2.实对称矩阵的特征值全为实数.3.反实对称矩阵的特征值全零或纯虚数.4.厄米特矩阵的特征值全为实数.5.反厄米特矩阵的特征值全零或纯虚数.二、圆盘定理1.设是的特征值，则2.矩阵A的任一由k个盖尔

5、圆组成的连通区域内有且仅有A的k个特征值.三、广义逆矩阵与线性方程组的解1.设若满足，则称是的减号逆，记为2.3.的求法4.的性质5.齐次线性方程组的通解6.非齐次线性方程组的通解