非线性方程组的解.doc

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1、非线性方程组的解1、基本概念非线性问题可以分为三类：几何非线性、材料非线性及边界条件非线性。无论哪一种非线性问题，总是最终归结为求解非线性代数方程组：其中分别代表荷载矩阵，节点位移矩阵，总体刚度矩阵。[K]不再是常数矩阵，而是随结构的应力和位移的变化而变化的。对于上述非线性代数方程组，常用解法有迭代法、增量法以及由两者结合起来派生的其他方法。2、迭代法迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐步修改位移和应变，使之满足非线性的应力应变关系。1）割线刚度迭代法割线刚度迭代法是迭代法中比较简单的一种，又称直接迭代法，其迭代过程如图所示在某级荷载P作用下，用初始刚度矩阵，求得位移的第一次近似值然后

2、，利用[δ1]求的单元的应变、应力，根据应力状态确定此刻的本构矩阵，再根据这一本构矩阵求得新的割线刚度矩阵[k1],再求得位移的第二次近似值重复上述过程，可以得到n次近似解：直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止.2)切线刚度迭代法切线刚度迭代法是一种变刚度迭代法，但不是用割线刚度而是用变化的切线刚度。其迭代过程如图所示。这一迭代法又称为Newton-Raphson法。首先取初始刚度矩阵[k0]，求得位移的第一次近似值由初始位移可以求得单元应变，进而求得单元应力。有单元应力可以求得相应的节点荷载。第二步，用相应于[δ1]时的切线模量[k1]，在荷载作用下求得位移增量[Δδ2]，即从而求得

3、位移的第二次近似值为重复上述步骤，直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止。3)等刚度迭代法等刚度迭代法又称为修正的Newton-Raphson法，这一方法在迭代过程中采用不变的刚度。具体步骤：2a)首先取初始刚度矩阵[k0]，求得位移的第一次近似值b)按[δ1]求出单元应变[ε1]，有单元应变求的单元应力其中[D0]为材料本构矩阵，由应力可以求得相当的节点力为与原加荷载的差为:c)将再加于结构，仍用初始刚度求得附加位移将再加于结构，仍用初始刚度[K0]求得附加位移d)重复上述步骤，知道得到足够近似的解。3、增量法增量法的基本思想是将荷载划分为许多小的荷载部分（称为增量），这些荷载增量一般

4、取成大小相等，也可根据需要改为不等。计算时每次施加一个荷载增量。在一个荷载增量中，假定刚度矩阵是常数；在不同的荷载增量中，刚度矩阵可以有不同的数值。增量法使用一系列线性问题去逼近非线性问题，实质上时用分段线性去代替非线性曲线。欧拉折线法设荷载分为m个增量：每个荷载增量产生一个位移，因而在施加n个荷载增量之后，总荷载为：欧拉折线法计算第n个位移增量时，其刚度矩阵取为上一级荷载增量结束时的线性刚度矩阵，也即第n级荷载开始的线性刚度，即4、增量迭代法增量迭代法及荷载也划分为荷载增量，但增量上的个数较少，而对每一个荷载增量进行迭代计算。2