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1、前面介绍的解线性方程组的直接法是解低阶稠密方程组的有效方法。但是，在工程技术中常产生大型稀疏矩阵方程组，例如由某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组Ax=b，A的阶数很大，但零元素较多，迭代法是能够充分利用系数矩阵稀疏性特点的有效算法。第四章解线性方程组的迭代法迭代法的构造迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求线性方程组的解。设有方程组,将其转化为等价的便于迭代的形式（这种转化总能实现，如令）并由此构造迭代公式其中，称为迭代矩阵，称为迭代向量。对任意的初始向量，由迭代式可求得向量序列若，则就是方程组Ax=b的解.§4.1解线性方程组的三种迭代法4.1.1．雅
2、克比（Jacobi）迭代法（以三阶方程组为例）设有方程组：假设任选一向量X(0)作为解的初值.则方程组可写为：代入式(4.1)中得方程组的一次近似.把X(1)再代入到(4.1)中得方程组的二次近似.重复这一过程,假设得到了m次近似X(m)。代入到(4.1)中可得m+1次近似X(m+1)。称此迭代公式为原方程组的雅可比迭代公式.对于n阶方程组则雅可比迭代公式为:若用矩阵来记录雅可比矩阵,可作如下的推导:令A=D-L-U,其中则有AX=DX-LX-UX=b.即DX=b+(L+U)X从而有DX(m+1)=b+(L+U)X(m).若则D可逆,于是得称BJ为雅可比迭
3、代矩阵.这种迭代格式称为雅可比迭代格式。在某种条件下，按雅可比迭代所产生的向量序列的极限会存在，且等于原方程组的解。这种求解方法被称为雅可比迭代法，或简单迭代法。定义4.1如果向量序列{X(m)}={(x1(m),x2(m),…xn(m)}有xi(m)→xi*（i=1,2,3,…n）(m→∞)则称向量X*=(x1*,x2*,…xn*)为向量序列{X(m)}的极限,记为:例用简单迭代法解下列方程组解将方程组写成等价形式取初始值x(0)=0,按迭代公式4.1.2高斯——赛德尔迭代法对雅可比迭代法作如下的改进:将初值代入4.1的第一个方程可得,用代入第二个方程得
4、,用代入第三个方程得,这样一直做下去,直到得到满意的解为止.之所以作这样的改进是希望更快的得到近似解.这种迭代的方法用公式写出来就是:对给定的初值,用此迭代公式求线性方程组的方法被称为高斯—塞德尔迭代法。（G—S）一般地,对n阶线性方程组的迭代格式改为:用矩阵表示此方法为：即：称BG为高斯——塞德尔迭代矩阵例用赛德尔迭代法解方程组解将原方程组写成等价形式并按(3―75)构造赛德尔迭代公式例1：分别用两种迭代法求下列线性方程组。初值均取(0，0，0)T解:用matlab解,程序如下%用雅可比法解P91例1a=[9,-1,-1;-1,8,0;-1,0,9];D
5、=-(a-triu(a)-tril(a));L=-(tril(a)-b);U=-(triu(a)-b);xo=[0;0;0];bo=[7;7;8];ep=0.0001;dx=1;k=0;whiledx>epk=k+1;x=D(L+U)*xo+Dbo;dx=abs(norm(x)-norm(xo));xo=x;endk,x%用G_S法解P91例1a=[9,-1,-1;-1,8,0;-1,0,9];D=-(a-triu(a)-tril(a));L=-(tril(a)-b);U=-(triu(a)-b);xo=[0;0;0];bo=[7;7;8];ep=0.
6、0001;dx=1;k=0;whiledx>epk=k+1;x=(D-L)U*xo+(D-L)bo;dx=abs(norm(x)-norm(xo));xo=x;endk,x在多数情况下用高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快。但也有相反的情况，即高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛慢，甚至还有雅克比迭代法收敛，高斯—赛德尔迭代法发散的情形。4.1.3超松弛迭代法弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种改进,是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一.现在研究如何求向量首先，由高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记首先，由高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记用此公式求解线性方
7、程组的方法称为带有松弛因子ω的松弛迭代法.当ω>1时称为超松弛迭代法;(SOR法)当ω<1时称为低松弛迭代法;当ω=1时就是G—S迭代法.当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛，将上式写成矩阵的形式，得：于是得SOR迭代的矩阵表示例用SOR法求解方程%用SOR法解P96例2a=[4,-2,-4;-2,17,10;-4,10,9];D=-(a-triu(a)-tril(a));L=-(tril(a)-D);U=-(triu(a)-D);xo=[0;0;0];bo=[10;3;-7];omiga=1.46;ep=0.000001;d
8、x=1;k=0;whiledx>epk=k+1;x=(D-omig
