数学物理方法傅里叶变换法.ppt

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1、1积分变换法积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往往不能。本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。2傅里叶变换（1）导数定理（2）积分定理（3）相似性定理3（4）延迟性定理（5）位移性定理（6）卷积性定理4第一节傅里叶变换法用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是例1求解无限长弦的自由振动解：应用傅里叶变换，即用同乘方程和定解条件中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则分，对于无界空间的定解问题

2、，适用于傅里叶变换法求解。连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于5定解问题变换成：其中分别是的傅里叶变换，这样原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：代入初始条件可得：故对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：6达朗贝尔公式例2求解无限长细杆的热传导问题解：作傅里叶变换，定解问题变为：此常微分方程的初始问题的解为进行傅里叶逆变换可得：7交换积分次序积分公式：8例3求解无限长细杆的有源热传导问题解：作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：令利用上述公式可得9用

3、同乘方程各项，可得：对t积分一次，并考虑零初始值可得：进行傅里叶逆变换交换积分次序可得：10是单位面积硅片表层原有杂质总量.并利用积分公式可得最后的结果为：例4限定源扩散在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已11解:没有杂质穿过硅片表面,即:第二类齐次边界条件这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题则引用例2结果可得高斯函数12硅片表面右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水

4、平的,例5恒定表面浓度扩散在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.度趋于均匀,曲线下的面积为2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓的分布情况,曲线1对应于较早的时刻是半无界空间x>0中的定解问题于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求13解首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令则化为关于w的定解问题:这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即引用例2结果可得14第一个积分中令第二个积分中令则有被积函数是偶函数,故误差函数记做erfx,则w可写为:所求的解如下:15余误差函

5、数记做erfcx,则有硅片表面右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中例6泊松公式求解三维无界空间中的波动问题明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线)的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚分布情况,曲线1对应于某个较早的时16解做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题这个方程的解为再进行傅里叶逆变换17利用5.3例1的结果18应用延迟定理出现对的积分只要在球面上进行以r为球心(矢径r),半径为at为球面的面积元,此即泊松公式.19三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式然后拿初始扰动按泊松公式在球面上积分,波动以速度

6、a传播,只有跟点r相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到rrdDT0初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0跟T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋没有到达r,当d/aD/a,包围了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明球心,以at为半径作球面求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为扰动已经过去.最小距离为d,最大距离为D,当t

7、用脉冲函数性质和关系式由于积分只要在条件下进行即可对的积分只需要在球体进行,球心的矢径为r,半径at引用§5.3例1的结果,并应用延迟定理可得22f的宗量t换成了扰动以速度a传播,从点出发的扰动,如果在时刻t对点r产生影响,必然是时刻出发.其中推迟势例8柱面波降维法求解二维无界空间中的波动问题解也可以用傅里叶变换来求解,这里介绍另一种方法23二维空间的波动是三维空间波动对于二维问题,球面上的积分代以xy平面的圆上的积分,如图,上的面