函数恒成立问题的求解策略.pdf

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1、f高一二l；EJ爨理化雩习7977X9+281r3—0>0，而而’—‘错解：数列{}是递增数列，则{【o>1，，(3一Ⅱ)×7—3<口，一6分析．把=假设成=是错误所在故-70数列是特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上，其定{Ⅱ>1，故2<吐<3．义域是正整数集或其子集，对数列是特殊函数理解不够或者将【口<8。数列简单视为函数，解决方法完全照

2、搬于函数，常常造成错解．例9已知数列{a}的通项公式为a=一2n+9n+108n例7已知{a}的前n项和为S=2n一18n+9，求s的一40，求该数列的最大项．最小值．错解：求导0：一6n+18n+108=一6(+3)(n一6)，当错解：因S是关于n的二次函数，故5的最小值为丝n>6时，。<0，当n<6时0>0，所以a在n=6处有极大4n值，即数列的最大项是a=500．一——2‘分析：通常，要使。最大，则应满足{-。n≥an_1，通过以上的L0≥aⅡ+1n分析：二次函数Y=2x一18x+9取得最小值时=一=不等式组解出n的值．本题考虑用导数这个工具可以大大简化4．5隹N，显然

3、没有注意nEN．运算过程，事实上，因为函数在某孤立的点处不存在导数，对a正解：因=4．5时，函数Y=2x一18x+9取得最小值，而求导是没有意义的，所以求解过程错误．n∈N’，所以由抛物线的性质知，=4或5时，Js最小，最小值正解：考查对应的连续函数y=一2x+9+108x一40，由是s4=S5=一31．Y’=一6(x+3)(一6)可知y在[1，6]上单调递增，在【6，十。。)例8设。>。，若8={。(3一-a)n-3'≤7’且数列{。}上单调递减．所以=6是Y的一个极大值点．因=6∈N，所，>7．以a有最大值a6=500．是递增数列，求实数a的取值范围．[江苏省如皋高等师范

4、学校(226500)]函数恒成立问题的求解策略■张婕函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，也是中学分析2：(初等函数的性质)方程变型lnx=数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学2x+a，令厂()=lnx，g(x)=2x+a(分为两个的基础．含参数的不等式或方程的恒成立问题是函数考察中常初等函数)．，见的一种题型，涉及到对函数定义域、单调性等性质的研究，这，()=了1类题型在细致分析之后往往转化为最值问题，有一定难度．，g()=2，当／()=g()时，两图1例1lnx一2x—a=0有两个不等实根，求a的取值范围．个函数图象相切，如图2所示．切点(÷，in÷

5、)，分析1：分离参数a=lnx一2x，令f()：lnx一2x，定义域即=÷时，原方程有且只有一个根，画出草／为e(0，+()=÷～2=．(0，÷)时，图，c<，()>0；∈(÷，+)时()<0．所以，()在(0，÷)变题：若方程lnx一似一2=0有解，求oJ}上递增，在(÷，+)上递减．当：下1时，y：In下1—1．原的取值范围-图2方程有两个不等实根即函数Y=a与Y=lnx一2x的图象有两个交点，如图1所示．得口

6、．变题：函数f()=e+对

7、任意∈R，分析2：(数形结合)几何意义1似=0+2，令厂()=lnx，f()>0恒成立，试确定a的取值范围．g(x)=ax+2，则原方程有解即个函数图象分析1：(分离参数)e+ax>0恒成立．有交点．当Y=f()与Y=g(x)图象相切1。=0时，a∈R．图5时，如图3所示．记切点P(x。，l眦。)所以a=oj2。>0时，则口>一÷恒成立，令g(x)=3；0=e．要使两个函数图象有交点，则a∈(一a。，]．一等n>)max)一=，所以图3例2已知函数f()=ax，0∈[0，叮r]，且，()≤1+∈(0，1)时，Y=g(x)递增；∈(1，+。。)时，Y=g(x)递减．SirL~，

8、求a的取值范围．所以=1时，g(x)～：g(1)=一e．所以a>一e．分析1：(分离参数)因为∈Eo，叮r]，所以0≤L．记3。<0时，则。<一÷恒成立，令g()=一÷，即。