差分方程及matlab求解.ppt

《差分方程及matlab求解.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k>0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？差分方程初步第一节差分方程的基本概念一、差分的概念定义1设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．依此定义类推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2

2、=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………一阶差分的性质(1)若yt=C(C为常数),则Dyt=0;(2)对于任意常数k,D(kyt)=kDyt;(3)D(yt+zt)=Dyt+Dzt．定义2函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即D2yt=D(Dyt)=Dyt+1-Dyt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推,有D2yt+1=Dyt+2-Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2=Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3

3、+yt+2,………………类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分D3yt=D2yt+1-D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D3yt+1=D2yt+2-D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程定义3含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分yt,2yt,…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt,…,nyt)=0,其中F是

4、t,yt,yt,…,nyt的已知函数,且nyt一定要在方程中出现．定义3′含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶．n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,其中F为t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现.三、差分方程的解定义4如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt

5、=j(t)为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解yt=(t,C1,C2,…,Cn)称为n阶差分方程的通解.在通解中给任意常数C1,C2,…,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,…均是这个差分方程的特解.由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件.n阶差分方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0常见的定解条件为初始条件.y0=a0,y1=a1，…,y

6、n-1=an-1，这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程ayt+1-byt=0与方程ayt+2-byt+1=0都是相互等价的．四、线性差分方程及其基本定理形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程.其中a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函

7、数,且an(t)≠0,f(t)≠0.而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,…，n)为t的已知函数,且an(t)≠0.如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0．分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程

8、.定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理)若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2),则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是