专题突破练1　函数与导数中的高考热点问题.doc

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1、专题突破练(一)　函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书第220页)1．已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．[解]　由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令

2、f′(x)＝0，得x＝0.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘1↗所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b＞1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1＞4b－2b－1＞b，f(0)＝1＜b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0

3、)和(0，＋∞)上均单调，所以当b＞1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．2．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.[解]　(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

4、x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘2－2ln2＋2a↗故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2A．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a＞ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0.于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在

5、R内单调递增．于是当a＞ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.3．(2018·兰州模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝f′(1)x＋xlnx.(1)求函数f(x)的极值；(2)若k∈Z，且f(x)＞k(x－1)对任意的x∈(1，＋∞)都成立，求k的最大值.【导学号：97190098】[解]　(1)f′(x)＝f′(

6、1)＋1＋lnx(x＞0)，所以f′(1)＝f′(1)＋1，即f′(1)＝2，所以f(x)＝x＋xlnx，f′(x)＝2＋lnx，令f′(x)＝2＋lnx＜0，解得0＜x＜e－2，即当x∈(0，e－2)时，f′(x)＜0，当x∈(e－2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝e－2处取得极小值f(e－2)＝－e－2，没有极大值．(2)由(1)及题意，知k＜＝对任意的x∈(1，＋∞)都成立，令g(x)＝(x＞1)，则g′

7、(x)＝，令h(x)＝x－lnx－2(x＞1)，则h′(x)＝1－＝＞0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上为增函数，因为h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－ln4＞0，所以方程h(x)＝0存在唯一实根x0，即lnx0＝x0－2，x0∈(3,4)．所以当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以函数g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，所以k＜g(x)min＝x0，x0∈(3,4

8、)，又因为k∈Z，故k的最大值为3.4．(2017·山东高考)已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．[解]　(1)由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此，曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方