一类食饵-捕食者模型的二阶龙格库塔方法稳定性及分支分析.pdf

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1、第34卷湖北师范学院学报(自然科学版)V01．34第3期JournalofHubei．NormalUniversity(NamrMScience)No．3，2014一类食饵捕食者模型的二阶龙格库塔方法稳定性及分支分析柯于胜，陈伯山，刘唯一2(1．湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石4350022．成宁职业技术学院工学院，湖北成宁437100)摘要：研究了一类食饵一捕食者模型在内的离散化及其动力学行为．首先，利用二阶龙格一库塔方法将一类食饵一捕食者模型离散化，得到一类新的离散奇异系统，然后运用微分代数系统理论与分支理论讨论了系统在平衡点处的局部

2、稳定性与分支问题，证明了Neimark—Sacker分支的存在性，并且选取捕获努力研究了Neimark—Sacker分支及其方向，最后通过数值模拟证明了我们的结论．关键词：食饵-捕食者模型；微分代数系统；龙格一库塔方法中图分类号：0193文献标识码：A文章编号：1009-2714(2014)03．0068．06doi：10．39~9／j．issn．1O09—2714．2014．03．016在生态动力系统中，传统的Lotka—Volterra食饵一捕食者模型是一类十分重要的模型，在捕捞业以及生态管理中广泛地应用，具有重要的意义．在食饵～捕食者系

3、统中，对于生命长、世代重叠并且数量很大的种群，常近似地用微分方程来描述¨]．生命短、世代不重叠或者数量少的种群，均常用差分方程来描述．近年来，这种用差分方程来描述的离散食饵一捕食者系统得到越来越多的关注．学者们研究了离散的Lotka—Volterra食饵一捕食者系统各方面的内容，其中包括平衡点的稳定性，分支情况，周期解的存在性和混沌控制等J．在差分动力系统的研究中，许多用差分系统所描述的离散模型都是通过连续模型的离散化获得的．然而，对于同样的连续模型，不同的离散化方法可以得到不同的离散模型，进而可以得到不同的定理与结论．大多数文献中的离散化模

4、型都是通过对连续模型进行欧拉方法的离散化而得到的，并没有获得较为精确的离散化系统．因此，本文希望在传统的Lotka—Volte~a食饵一捕食者系统的基础上，用一种新的方法对连续模型进行离散化，从而得到一类理想的离散模型，并分析该模型的动力学行为．1模型建立本文将考虑如下Lotka—Voherra食饵一捕食者模型：fx．=rx，(1一卜叻’(1)【=，，(一d)一ey’⋯其中=(t)和Y=，，(t)分别表示食饵种群和捕食者种群在时刻t数量，k表示食饵种群的容纳量，r是食饵种群的内禀增长率，b是捕食者的功能性反应，C是食饵向捕食者转化的速率，d是

5、捕食者种群的死亡率，e是捕获努力．首先，利用无量纲变换，将系统(1)化简为：收稿日期：2O14—_o1—O2作者简介：柯于胜(19盯一)，男，湖北黄石人，硕士研究生，主要从事微分方程与控制论·68·fx=(1一一y)i多：y(一d一。)。(2)然后利用二阶龙格一库塔方法对系统(2)进行离散化，得到下面的离散奇异系统r+3／2+)I，，+8／2(gl+g2){Ig引，-x-y)、(3)1=)，(CX—d—e)=(+／2)[1一(+／2)一(Y+船／2)]0叫O％吖O‰Lg2=(Y+蹭1／2)[c(x+／2)一d—e]通过如上分析，建立了一类定义

6、在中的二维流形(坐标轴分别为，Yo，，g，叫AO，。g2)叫．0其0中，(g。)表示系统(2)的解=(t)(Y=y(t))在区间段[t，t⋯]左端点的斜率，()表示系统o0％(2)的解=(t)(Y=Y(t))在区间段[t，t⋯]右端点的斜率，表示步长．02o102平衡点的稳定性分析0o00o容易看出系统(3)有平衡点Eo(。，Yo，g。。，g加)其中oo0o0=(d+e)／c，Yo=1一0o=．，_加=g10=g加=0现在考虑系统(3)在平衡点(，Yo，。，g。，厂如，g2。)的稳定性．先求出系统(3)在平衡点E。(。，Y。o，go，g∞)的

7、雅可比矩阵为(Eo)：那么J(E。)相应的特征方程为A2+尸A+Q=O(4)中P=一2+c0Y0一／2+戈oQ=1一o+c2o2y02／,qA+／2=co2y0／2对于特征方程(4)，，(A)=A++Q，则F(一1)=[(一2)+(CXoYo一4)+4(0—2)]／8F(1)=一C2X0Yo(B1+B2。一4)／4=C2X一．oYo(0一01)(0一o2)／4其中B1=c，B2=2一cB：+B一0一2B，∞一2B根据系统(3)知道0<0．经过分析，得到离散系统(3)在平衡点的局部稳定性定理如下：定理l系统(3)的平衡

8、点E。(。，Yo。，g。。，g∞)为：1)汇(源)当且仅当F(1)>0并且Q<1(Q>】)；2)鞍点当且仅当F(1)<0；69·3)非双曲的当且仅当如下条件之一成立