一类食饵捕食者模型的分支分析 优先出版.pdf

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1、第38卷第2期河南科技大学学报(自然科学版)Vol．38No．22017年4月JournalofHenanUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience)Apr．2017文章编号:1672－6871(2017)02－0089－06DOI:10．15926/j．cnki．issn1672－6871．2017．02．017一类食饵捕食者模型的分支分析刘永，赵维锐(武汉理工大学理学院，湖北武汉430070)摘要:针对食饵捕食者问题，研究了具有广义HollingIV型功能反应食饵捕食者

2、模型。在适当的条件下，该模型可能具有一个退化的正平衡点和一个非退化的正平衡点。以描述捕食者变化的两个变量作为分支参数，进行分支分析。当参数发生变化时，在退化平衡点的附近该食饵捕食者系统产生了一个Bogdanov-Takens分支。利用标准型理论和隐函数定理，得到了Bogdanov-Takens分支中鞍结点分支曲线、Hopf分支曲线和同宿轨道分支曲线的近似表达式。关键词:Bogdanov-Takens分支;退化平衡点;HollingIV型功能反应;食饵捕食者模型中图分类号:O193文献标志码:A0引言食饵捕食者之间的动态关系一

3、直是生物学和生物数学领域的一个重要课题，吸引了国内外很多学者的关注。文献［1－4］详细研究了如下形式的食饵捕食者系统:dxx=rx(1－)－yp(x);dtK(1){dxy)，=sy(1－dthx其中:x(t)和y(t)分别为食饵和捕食者在时刻t的种群密度;p(x)为功能反应函数;r为食饵的固有增长率;K为环境容量;s为捕食者的增长率;h为反应捕食者种内竞争的正常数。考虑到环境中随机因素的影响，文献［5］提出了具有时滞和随机项的食饵捕食者模型，并得到了系统全局稳定的条件。利用［6］Euler-Maruyama方法可以得到随机

4、种群模型的数值解，并且数值解均方收敛于解析解。［7］本文研究了具有广义HollingIV型功能反应的食饵捕食者模型，即:·xmxyx=rx(1－)－;2Kax+bx+1(2){·y)，y=sy(1－hx其中:r，K，a，s，h为正常数;b为任意常数。在详细讨论之前，进行尺度放缩:xm2sst=rt，x=，y=y，a=aK，b=bK，δ=，β=，KrrmhK并将x，y，t，…重新记作x，y，t，…，可得如下的系统:·xyx=x(1－x)－;2ax+bx+1(3){·y)，y=y(δ－βx2其中:b＞－2槡a(为了保证对于所有的

5、x≥0，ax+bx+1＞0都成立)。根据实际情况，本文主要研究系基金项目:国家自然科学基金项目(11601402);湖北省自然科学基金项目(2013CFB347)作者简介:刘永(1990－)，男，安徽蒙城人，硕士生;赵维锐(1967－)，男，湖北恩施人，教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为动力系统．收稿日期:2016－05－30·90·河南科技大学学报(自然科学版)2017年+统(3)在第一象限内的情况。因为系统(3)在x=0处没有定义，在下文中，将在Ｒ2={(x，y):x＞0，y＞δδ0}上展开讨论。易知，limx(t)

6、≤1，limy(t)≤。因此，平衡点E(x，y)∈(0，1)×(0，)。t→∞t→∞ββ1Bogdanov-Takens分支的存在性δ若E(x，y)是系统(3)的一个正平衡点，由系统(3)的第2个方程可得y=x，代入系统(3)的第1β个方程可得:32δf(x)=ax+(b－a)x+(1－b+)x－1=0，(4)β其中:x∈(0，1)。注意到方程(4)是1个一元三次方程，在区间(0，1)可能有1个、2个或者3个正解与之对应，系统(3)可能有1个、2个或者3个正平衡点。系统(3)在E(x，y)处的雅可比矩阵为:æyxy(2ax+

7、b)xö1－2x－+－2222çax+bx+1(ax+bx+1)ax+bx+1÷J(E)=ç÷;2çy2βy÷βδ－èx2xø22δxδ(2ax+b)xδxdet(J(E))=－δ1－2x－++;(222)2β(ax+bx+1)β(ax+bx+1)β(ax+bx+1)2δxδ(2ax+b)xtr(J(E))=1－2x－+－δ。222β(ax+bx+1)β(ax+bx+1)显然，若det(J(E))≠0，E(x，y)是一个非退化平衡点;若det(J(E))＜0，则E(x，y)是一个鞍点;若det(J(E))=0，则E(x，y)

8、是一个退化平衡点。对于平衡点的数目和类型，类似于文献［8］，有以下的引理1。引理1设2δA=(b－a)+3a(b－1－);β3δ322Δ=－4A+(9a(b－a)(1－b－)－2(b－a)+27a)，β则以下结论成立:***(Ⅰ)若Δ＞0，则系统(3)有1个唯一的正平衡点E=(x，y)。(