高考数学第5章平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案理北师大版.docx

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1、第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例[最新考纲]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、·co

6、sθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影

7、a

8、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

9、b

10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的乘积3．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模

15、a

16、＝

17、a

18、＝数量积a·b＝

19、a

20、

21、b

22、cosθa·b＝x1x2＋y1y2

23、夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

24、a·b

25、与

26、a

27、

28、b

29、的关系

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、

36、x1x2＋y1y2

37、≤·1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．(　　)(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)(3)由a

38、·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×二、教材改编1．已知a·b＝－12，

39、a

40、＝4，a和b的夹角为135°，则

41、b

42、为(　　)A．12　　　　　　B．6C．3D．3B　[a·b＝

43、a

44、

45、b

46、cos135°＝－12，所以

47、b

48、＝＝6.]2．已知

49、a

50、＝5，

51、b

52、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2　[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

53、b

54、cosθ＝4×cos120°＝－2.]3．已知

55、a

56、＝2，

57、b

58、＝6，a·b＝－

59、6，则a与b的夹角θ＝________.　[cosθ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.]4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]考点1　平面向量数量积的运算　平面向量数量积的3种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝

60、a

61、

62、b

63、cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

64、，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．　(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，

65、

66、＝1，则·＝(　　)A．－3　　　B．－2　　　C．2　　　D．3(2)[一题多解]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.(1)C　(2)12　[(1)∵＝－＝(1，t－3)，∴

67、

68、＝＝1，∴t＝3，∴·＝(2,3)·(1,0)＝2.(2)法一：(定义法)因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2

69、

70、＝

71、

72、·

73、

74、cos，化简得

75、

76、

77、＝2.故·＝·(＋)＝

78、

79、2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.][逆向问题]　已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　)A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5B　[依题意得

80、＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×co