高考数学一轮复习第3章导数及其应用第3节利用导数解决函数的极值、最值教学案理北师大版.docx

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1、第三节　利用导数解决函数的极值、最值[最新考纲]　1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极值与导数(1)函数的极大值点和极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点．其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)函数的极小值点和极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值

2、都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值和极值点：函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．(4)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)．②求方程f′(x)＝0的根．③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最值与导数(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0

3、)．函数的最小值点也有类似的意义．(2)函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得．(3)最值：函数的最大值和最小值统称为最值．(4)求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点．2．若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(

4、2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)(4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√二、教材改编1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点C　[设f′(x)的图像与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增

5、函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.]2．设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D　[f′(x)＝－＋＝(x＞0)，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．]3．函数y＝xex的最小值是________．－　[因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x＞－1时

6、，y′＞0；当x＜－1时，y′＜0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－.]4．函数f(x)＝x－alnx(a＞0)的极小值为________．a－alna　[因为f(x)＝x－alnx(a＞0)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－(a＞0)，由f′(x)＝0，解得x＝a.当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna．]考点1　利用导数解决函数的极值问题　利用导数研究函数极值问题的一般流程　根据函数图像判断函数极值的情况

7、　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]　可导函数在极

8、值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号．　求已知函数的极值　已知函数