抽象函数单调性、奇偶性的判断及其综合运用.doc

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1、抽象函数单调性、奇偶性的判断及其综合运用抽彖函数奇偶性、单调性的判断1.对于抽象函数奇偶性的判断，通常用定义法（方法）。要充分利用所给条件想方设法寻找fx与f-xZ间的关系。此类题目常用到f0，可通过对式子中的变量进行特姝赋值（技巧），构造出0,把f0求出来。利用特姝法求解，取特殊值时，要注意取值的合理性，冇时取一组值不能得到合适的答案，还需尝试再取另一组。做题时，注意体会领悟。2•对于抽彖函数单调性的判断，也是利用定义法，就是要注意作差（或作商）公式的变形应用(1)fxlfx2fxlx2x2fx2(2)fx2fxlfx2xlxlfxlX(3

2、)fxlfx2f1x2fx2x2X(4)fx2fxlf2xlfxlxlXf1x2fxlX(5)2fx2fx2xf2x2fx2X(6)2fxlfxl3.用定义法证明抽象函数单调性的步骤与技巧（1）取值取值技巧：取值时，要有方向性、目标性%1若题干中出现暗示单调性的条件为“当x0时，fx0”时，一般我们会按照“任取xl,x2A,且xlx2,则xlx20（A为题设所给定义域，下同）”的模式来操作。%1若题干中岀现喑示单调性的条件为“当x0时，fxa”时，我们可以按照“任取xl,x2A,且xlx2,则xlx20”的模式來操作。%1若题干中出现喑示单调

3、性的条件为“当x0时，fxa”时,按照“任取xl,x2A,且xlx2,则x2xl0”的模式来取值，那么在变形时就要选择第二个变形公式了。0”时,按照“任取%1若题干中出现暗示单调性的条件为“当x0时，fxxl,x2A,且xlx2,则x2xl0”的模式来取值时，在变形时也要要选择第二个变形公式。注：不管怎么取值都可以，但是在选择变形公式时，必须要保证跟题干所给的暗示单调性的条件方向统一，否则将函数值作差后无法判断其符号，从而也就无法判断函数的单调性。（2）作差变形①利用变形公式fxlfx2fxlx2x2fx2进行第一次变形变形公式选择技巧：若按

4、照“任取xl,x2A,且xlx2,则xlx20”的模式取值，并且题干所给的暗示单调性的条件为“当x0时，fx『'时，则选择第二个变形公式fx2fxlfx2xlxlfxl,因为xlx2,则x2xl0,这样就能保证跟题干所给的暗示单调性的条件方向保持统一。（3）利用题设所给的抽象表达式进行第二次变形（4）定号利用题干所给的喑示单调性的条件“当x0时，fx0”判定差的符号（5）下结论注：抽象函数单调性的判断方法与步骤跟具体函数一模一样，只不过在作差变形和判定差的符号时会有细节上的不同。具体函数作差后在恒等变形时往往要用到“通分、配方、因式分解、有理

5、化”等具体化的技巧。然而抽象函数在恒等变形时要利用到变形公式和抽象表达式两个抽象变形技巧，并且判定符号时要根据题设所给岀的暗示单调性的条件來判断，因此在取值和选择变形公式时一定要有目标性、方向性。例1・已知函数yfx不恒为0,对任意x,yR都有fxyfxfy,且当x0时，fx0.求证：（1）yfx是奇函数；（2）yfx是R上的增函数.导析：（1）灵活运用x,y的任意性及关系式fxyfxfy，寻找fx与f-x之间的关系（2）根据单调性的定义，利用fxyfxfy寻找fxl与fx2的关系解答：（1）函数fx的定义域为R,•・•对任意x,yR都有fx

6、yfxfy,令xyO得f0二f0+f0,2・・・fxfxf0=0,・・・fX-fx函数fx是奇函数(2)设xl,x2R,且xlx2,贝ljfxlf(xlfx2)x2Vxfxl0时，fxx20,x2fx2而xlx20,=f(xlx2)fx2fx2/.f(xlx2)0.即fxlfx29fX在R上是增函数.变式1.已知函数yfx不恒为0,且对任意xl,x2R都有fxlx2fxlx22fxlfx2・求证:fX是偶函数.证明：令xl0,x2x,则得fXfX2f0fX①又令xlx,x20x1=x,x2=0,得fXfX2fxf0②由①、②得fXfX,

7、fx是偶函数.例2.函数yfx对任意a,bR都有fabfafb1,当当x0时，fX1.(1)求证：fx是R上的增函数.(2)若f45,解不等式f3m2m23.(3)若关于x的不等式fnx2fxx22恒成立，求实数n的取值范I韦I.思路点拔：要证fx是R上的增冈数，要紧扣单调性的定义进行，解不等式f3m2m23的关键是先给3“穿上f”，转化为两函数值大小关系，再根3据函数单调性“脱掉f”，将其转化为一般不筹式求解.规范解答：(1)设xlx2,则x2xl0,f(x2xl)1,・•・fx2fxlfx2xlxlfxl=f(x2xl)fxlfxlf(x

8、2xl)1/.fX是R上的增函数.(2)f⑷f(22)2f(2)15,・・・f(2)3,・•・f3m2m23f2,:.3m2m22,即/.3m2m4'0,1m43(