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1、一叙述题(每小题10分，共30分)1叙述含参变量反常积分£/(x,y)dx—致收敛的Cauchy收敛原理。2叙述Green公式的内容及意义。3叙述n重积分的概念。二计算题(每小题10分，共50分)1.计算积分心辯二?,其屮C为椭圆2x2+3/=1,沿逆时针方向。2.已知z=f(xz^-y其屮/(w,v)存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z关于兀,y的二阶偏导数。求椭球体于右+右+体积。4.若/为右半单位圆周，求jlyds.5.计算含参变量积分1(a)=£(-2acosx+a2)dx(a<1)的值。三讨论题(每小题
2、10分，共20分)1若积分在参数的己知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一•致收敛。试讨论积分)1+a2x在每一个固定的a处的一致收敛性。2讨论函数F(y)=兀的连续性，其屮于(兀)在［0,1］±是正的连续函数。数学分析试题(二年级第一学期)答案1一叙述题(每小题10分，共30分)1含参变量反常积分］f(x,y)dx关于y在［c,〃］上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的£〉0,存在与y无关的正数九)，使得对于任意的A(),其中8D取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二垂积分与沿区域边界的第二类曲线积
3、分的关系。3.设。为/?"上的零边界区域，函数u=f（x）在。上有界。将。用曲面网分成〃个小区域△Q1,AQ2,...,AQn（称为G的一个分划），记△匕为△Q,的体积，并记所有的小区域△Gj的最大有•径为2。在每个AOj上任取一点“，若；I趋于零时，和式/=!的极限存在且与区域的分法和点呂的取法无关，则称/（X）在。上可积，并称此极限为/（兀）在有界闭区域O上的〃重积分，记为I=fdV=\^f{P^lQ计算题（每小题io分，共50分）解令/:x=—cosr,y=-sinr,3•2rxdy_ydx;3x2+4y2I_xxdy_
4、yd^^3x2+4y2解令u=xz,v=z-y,则:¥(cos?t+sin2r)f/r=£兀•dudzdvdz—=z+x—,—=—dxdxdxdxdu_Szbydy，dydydvdzdz_dfdudfdv13=—dxdudxdvdxdz_dfdudfdv—_—————dydudydvdydudx)d2z_8f'82u丽—无左+2dfd2va2/dvdx2dv22©丿、2+d2zdfd2ud2f(dudxdydudxdydu^（dr人労丿d~f(Ydudfd2vHFdvdxdyavYav"去丿b丿8f2^+xduIdx+dx2
5、d~z_dfd2udx2dudx2dzz+x—dx)dfd2v,a2/^df(d2z}d2f(dz}H(5v"8x)*dv8x2*6v2、2+亠dvd2z__dfd2u*d2fhi'萌dudy2加2(砂丿Ifix丿d2zdfd2u
6、dfdxdydudxdydu1d2f((叭丿UJ+堂巴+写dvdxdydv〜dxdy丿du2X——/fir人dydfd2zndvdxdy卑+写㈣dvdy2dv2[dy)df(d2z^d~f(dzXHr加l茁丿肿[如3解由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换x=
7、arcos0.y=防sin0(a>0,b>0,0v厂voo,0W&52/r)。这时椭球面化为Z=cJ-[于是£D(r,0)儿D(兀y)X&yGacosObsin3-arsin0brcosO-V=JJz(x,y)db巧=JJz(M)6*迁“Dgy)W,O)drdO所以椭球体积uio^c42•abrdr=彳abc[r71-r~dr专(-㊁J]_厂2)^/(1_r2)宁評着(—)話］€皿(6/rcos^)2(b广sin0)2]_。__pV=—Tiabco34解/的方程为：x2+y2=l,x>0o由y=yds=土J1+)%=±lx2
8、y~dx=±—vyy符号的选取应保证6/5>0,在圆弧段AC上，由于心>0,故,dxy而在圆弧段CB上，由于djtvO,故fclxcis=y所以n川•希+小十肿十-fln(l-2acosx+a2)dxo当a<1时,由于1—2acos兀+c厂hi—+=(1—同)~>0,故ln(l-2QCOSx+/)为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。厂(d)=『-252。心力1-2acosx+d~/I+rI1-2acQsx+cr)4fa2clxa_7t]_a_『dxaa(1^a2)-2acosxyrI-a2aa(l+d?)dxI+U^c
9、osx(1+Q丿+a-axt8z7T2=arctgaa于是，当dVl时，1（a）=C（常数）。但是，/（0）=0,故C=0,从而1（a）=0.三讨论题（每小题10分，共20分）1解设兔）为任一不为零的数，不妨设6/0>0o取J>0,使6/°-5〉
